Точки A и C расположены по одну сторону от прямой, к которой от обеих точек проведены перпендикуляры AB и CD равной длины. Определи величину угла∡ABC, если ∡ADB = 58°.

АВСД - параллелограмм, АД=ВС , АВ=СД , АД║ВС , АВ║СД .

∠АВС=110°  ⇒  ∠ВАД=180°-110°=70° ,  ∠BCD=∠BAD=70° .

∠LAD=10° , тогда ∠BAL=70°-∠ДАL=70°-10°=60° .

∠KCD=10° , тогда ∠ВСК=∠ВСD-∠KCD=70°-10°=60° .

Рассмотрим два треугольника: ΔABL и ΔBCK .

Так как в ΔABL две стороны равны АВ=АL по условию , то ΔABL -равнобедренный. А так как ещё и угол в равнобедренном треугольнике ∠ВАL=60°, то этот треугольник - равносторонний, следовательно  ВL=AB=AL=CD, ∠АВL=60°  ⇒  

∠CBL=110°-∠ABL=110°-60°=50° .

Аналогично, ΔВСК - равносторонний (КС=ВС по условию и ∠ВСК=60°) , следовательно ВК=ВС=СК=AD, ∠KBC=60°  ⇒

∠KBL=∠KBC-∠CBL=60°-50°=10° .

Теперь рассмотрим три равных треугольника: ΔADL=ΔKCD=ΔKBL . Они равны по 1 признаку равенства треугольников:

AD=KC=BK ,  AL=CD=BL ,  ∠LAD=∠KCD=∠KBL=10°  .

Отсюда следует, что  стороны LD=KD=KL   ⇒  ΔKLD - равносторонний, а в равностороннем треугольнике все углы равны 60°.

Значит, искомый угол  ∠KDL=60° .

Ну вот сегодня что-то не вышло у меня найти "красивое геометрическое решение". Может, потом что-то в голову придет. Но тупое решение я конечно нашел, тут только на вид сложно.
Пояснения к рисунку. Стороны треугольника я обозначил буквами a, b, c, напротив стороны a по условию лежит угол ∠A = 120°; l - биссектриса этого угла. Буквами x и y я обозначил отрезки сторон от вершины A до концов биссектрис. Стороны треугольника с вершинами в концах биссектрис я обозначил, как k, m, n;
Нужно доказать, что k^2 = m^2 + n^2; тогда треугольник - прямоугольный.
По ходу решения понадобится выразить длину биссектрисы через стороны, я для этого воспользуюсь вот чем.
2*S = bc*sin(A) = bl*sin(A/2) + cl*sin(A/2);
l = 2bc*cos(A/2)/(b + c) = bc/(b + c);
Длины отрезков x и y также легко найти, и они очень похожи на l
x = bc/(a + b); y = bc/(a + c); это элементарно находится из свойства биссектрисы. Теперь можно приступить к решению.
Из теоремы косинусов легко найти
k^2 = x^2 + y^2 + xy;
m^2 = l^2 + x^2 - xl;
n^2 = l^2 + y^2 - yl;
Кроме того, для всего треугольника тоже есть связь
a^2 = c^2 + b^2 + bc;
Легко видеть, что надо доказать, что
2l^2 = xl + yl + xy;
или
2/(b+c)^2 = 1/(b+c)(a+b) + 1/(a+c)(b+c) + 1/(a+b)(a+c);
или (что тоже самое, все преобразования - обратимы)
2(a+c)(a+b) = (a+b)(b+c) + (a+c)(b+c) + (b+c)^2;
Если будет доказано это, то, делая обратные манипуляции, можно показать, что для  k, m, n выполняется теорема Пифагора, что и нужно.
Но последнее соотношение легко получить из
a^2 = c^2 + b^2 +cb; =>
a^2 + ab + ac + bc = c^2 + b^2 + 2cb + ab + ac; =>
(a + b)(a+c) = (b+c)(a + b + c); =>
2(a+c)(a+b) = (a+b)(b+c) + (a+c)(b+c) + (b+c)^2; откуда следует
k^2 = m^2 + n^2; и треугольник прямоугольный.