Ребро правильного тетраедра ABCD дорівнює 24 см. M є BD, BM: MD = 3: 1. Знайдіть площу перетину тетраедра з площиною, що проходить через точку M паралельно площині ABC.

В правильном треугольнике биссектрисы являются и высотами, и медианами. Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, где 2 - отрезок от угла до пересечения, а 1 - от точки до стороны.
Тогда медиана = 2 +2*2 = 6 см, но она является и высотой, делящей сторону на x/2 и x/2, где x - сторона правильного треугольника.
По теореме Пифагора: 6^2 + (0,5x)^2 = x^2
36 = x^2 - 0,25x^2    =>    36 = 0,75x^2    =>    x^2 = 48, тогда
x = 4*sqrt(3), где sqrt(3) = квадратный корень их трёх.
Площадь Прав. треугольника = 4*sqrt(3)*6 / 2 = 12*sqrt(3) см^2
ответ: 12*sqrt(3) см^2 = (двенадцать корней из трёх) см^2.

Объяснение:

Соединим А и В, С и D. Четырехугольник ABCD - вписанный, значит <ABC+<ADC=180° и <CDM+<ADC=180°, значит <ABC=<CDM. Аналогично <BAD=<DCM.

Из тр-ка △CMD <CMD(AMB)=180-<CDM-<DCM=180-<ABC-<BAD

<ABC=1/2*(AD+CD); <BAD=1/2(BC+CD).

<AMB=180-1/2*(AD+CD)-1/2*(BC+CD)=180-1/2*(AD+CD+BC)-1/2*CD

Для дуг окружности можно записать:

AD+CD+BC=360-AB - подставим в последнее выражение:

<AMB=180-1/2*(360-АВ)-1/2*СD=180-180+1/2*АВ-1/2*СD=1/2*(AB-CD)=1/2*(ALB-CKD)