1. Прямая b лежит в плоскости α. Прямая a не лежит в плоскости α . и параллельна прямой b. Через точку М, лежащую в плоскости α. (М не принадлежит b), проведена прямая c, параллельная a. Докажите, что прямая c лежит в плоскости α .
2. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра, пересекаются в одной точке.
3. Сторона АС треугольника АВС параллельна плоскости α , а стороны АВ и ВС пересекаются этой плоскостью в точках М и N. Докажите, что треугольники АВС и МNВ подобны.
4. Докажите, что если прямая а пересекает плоскость α, то она пересекает также любую плоскость, параллельную α .

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Это угол А. Проведем перпендикуляр АН из этого угла на противоположную сторону ВС. Имеем два прямоугольных треугольника АВН и АСН, в которых перпендикуляр АН - общий катет. Пусть СН = Х. По Пифагору АН² = АС² - Х² и АН² = АВ² - (ВС-Х)². приравняем оба уравнения и получим: 100 - Х² = 289-441+42Х - Х², откуда 42Х=252, а Х = 6.
Тогда АН = √(АС² -Х²) = √(100-36) = 8.
В прямоугольном треугольнике АDH АD=15, АН=8. Тогда искомое расстояние DH (гипотенуза) по Пифагору равна  √(DА²+АН²) = √(225+64) = 17.

Дана равнобедренная трапеция с острым углом 60 градусов и большим основным равным 24. Прямая проходящая через вершину острого угла и центр вписанной окружности  делит трапецию на четырехугольник и треугольник.
 Найдите площадь полученного треугольника
.
Обозначим вершины трапеции АВСД.
Углы равнобедренной трапеции, прилежащие к основанию, равны.
Следовательно, угол ВАД=СДА=60°
Продолжим боковые стороны до их пересечения и получим равносторонний треугольник. 
.Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении его высот (биссектрис)
Прямая, проходящая через вершину острого угла и центр вписанной окружности,  делит угол при основании трапеции пополам, т.к. является биссектрисой угла. 
 Следовательно, треугольник АНД - половина правильного треугольника, и его площадь равна половине площади правильного треугольника со стороной 24. 
Площадь правильного треугольника находят по формуле
S=(a²√3):4
S ⊿ АДН=¹/₂(24²√3):4= 576(√3):8=72√3  
-----------------
Есть и другие решения, ответ будет тот же, но это решение - самое, на мой взгляд, короткое.