Составьте уравнение окружности, проходящей через точки: 1) А(-3; 7), B(-8, 2), C(-6, -2);
2) M (-1; 10), N (12; -3), К (4; 9).​

Для составления уравнения окружности, проходящей через данные точки, воспользуемся следующими шагами.

Шаг 1: Найдем координаты центра окружности.
Для этого воспользуемся методом серединных перпендикуляров.

1) Точки А(-3; 7), B(-8, 2), C(-6, -2)
Найдем серединный перпендикуляр к отрезку AB.
Сначала найдем середину отрезка AB:
x = (x_1 + x_2) / 2 = (-3 + (-8)) / 2 = (-11) / 2 = -5.5
y = (y_1 + y_2) / 2 = (7 + 2) / 2 = 9 / 2 = 4.5

Теперь найдем коэффициенты уравнения серединного перпендикуляра. Так как угловой коэффициент прямой, проходящей через точки А и В, равен:
m = (y_2 - y_1) / (x_2 - x_1) = (2 - 7) / (-8 - (-3)) = (-5) / (-5) = 1

Тогда угловой коэффициент серединного перпендикуляра будет равен:
m_perpendicular = -1 / m = -1 / 1 = -1

Так как серединный перпендикуляр проходит через точку с координатами середины отрезка AB, то его уравнение имеет вид:
y - 4.5 = -1(x - (-5.5))
y - 4.5 = -x + 5.5
x + y = 10

Аналогичные шаги выполняем для отрезка BC и находим его середину:
x = (x_1 + x_2) / 2 = (-8 + (-6)) / 2 = (-14) / 2 = -7
y = (y_1 + y_2) / 2 = (2 + (-2)) / 2 = 0 / 2 = 0

Так как угловой коэффициент прямой, проходящей через точки B и C, равен:
m = (-2 - 2) / (-6 - (-8)) = (-4) / 2 = -2

Тогда угловой коэффициент серединного перпендикуляра будет равен:
m_perpendicular = -1 / m = -1 / (-2) = 1/2

Так как серединный перпендикуляр проходит через точку с координатами середины отрезка BC, то его уравнение имеет вид:
y - 0 = (1/2)(x - (-7))
y - 0 = (1/2)(x + 7)
2y = x + 7
-x + 2y - 7 = 0

Теперь найдем точку пересечения серединных перпендикуляров от AB и BC. Для этого решим систему уравнений:
x + y = 10
-x + 2y - 7 = 0

Приведем систему к удобному виду:
x + y = 10
2y - 7 = x

Заменим x во втором уравнении на выражение из первого уравнения:
2y - 7 = 10 - y
3y = 17
y = 17 / 3

Подставим значение y в первое уравнение:
x + 17/3 = 10
x = 10 - 17/3
x = 30/3 - 17/3
x = 13/3

Таким образом, координаты центра окружности равны (13/3, 17/3).

2) Точки M (-1; 10), N (12; -3), K (4; 9)
Аналогично предыдущему шагу, находим серединные перпендикуляры для отрезков MN и NK.

Для отрезка MN:
Найдем середину отрезка MN:
x = (x_1 + x_2) / 2 = (-1 + 12) / 2 = 11 / 2 = 5.5
y = (y_1 + y_2) / 2 = (10 + (-3)) / 2 = 7 / 2 = 3.5

Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки M и N, равен:
m = (-3 - 10) / (12 - (-1)) = (-13) / 13 = -1

Тогда угловой коэффициент серединного перпендикуляра будет равен:
m_perpendicular = -1 / 1 = -1

Уравнение серединного перпендикуляра имеет вид:
y - 3.5 = -1(x - 5.5)
y - 3.5 = -x + 5.5
x + y = 9

Для отрезка NK:
Найдем середину отрезка NK:
x = (x_1 + x_2) / 2 = (4 + 12) / 2 = 16 / 2 = 8
y = (y_1 + y_2) / 2 = (9 + (-3)) / 2 = 6 / 2 = 3

Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки N и K, равен:
m = (-3 - 9) / (12 - 4) = (-12) / 8 = -3/2

Тогда угловой коэффициент серединного перпендикуляра будет равен:
m_perpendicular = -1 / (-3/2) = 2/3

Уравнение серединного перпендикуляра имеет вид:
y - 3 = (2/3)(x - 8)
3y - 9 = 2(x - 8)
3y - 9 = 2x - 16
2x - 3y + 7 = 0

Теперь найдем точку пересечения серединных перпендикуляров от NK и NM:
x + y = 9
2x - 3y + 7 = 0

Приведем систему к удобному виду, умножив первое уравнение на 2:
2x + 2y = 18
2x - 3y + 7 = 0

Вычтем второе уравнение из первого:
5y = 11
y = 11 / 5

Подставим значение y в первое уравнение:
x + 11/5 = 9
x = 9 - 11/5
x = 45/5 - 11/5
x = 34/5

Таким образом, координаты центра окружности равны (34/5, 11/5).

Шаг 2: Найдем радиус окружности.
Для этого найдем расстояние от центра окружности до любой из заданных точек. Выберем точку A(-3; 7).

Расстояние между двумя точками может быть найдено с помощью формулы расстояния между двумя точками:
d = sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2)

d = sqrt((-3 - 13/3)^2 + (7 - 17/3)^2)

Упростим выражение:
d = sqrt((-39/3)^2 + (14/3)^2)
d = sqrt((169/9) + (196/9))
d = sqrt(365/9)

Таким образом, радиус окружности равен sqrt(365/9).

Шаг 3: Запишем уравнение окружности.
Уравнение окружности имеет общий вид:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2

где (h, k) - координаты центра окружности, а r - радиус окружности.

Для варианта 1 получаем:
(x - 13/3)^2 + (y - 17/3)^2 = (sqrt(365/9))^2
(x - 13/3)^2 + (y - 17/3)^2 = 365/9

Для варианта 2 получаем:
(x - 34/5)^2 + (y - 11/5)^2 = (sqrt(365/9))^2
(x - 34/5)^2 + (y - 11/5)^2 = 365/9

Таким образом, уравнения окружностей, проходящих через данные точки, будут:

1) (x - 13/3)^2 + (y - 17/3)^2 = 365/9
2) (x - 34/5)^2 + (y - 11/5)^2 = 365/9