В равнобедренный треугольник АВС , АВ=ВС=15 , АС=24, вписана окружность (О; r). Найдите r.
Объяснение:
1)Пусть ВН ⊥АС. Центр вписанной окружности О лежит в точке пересечения биссектрис. В равнобедренном треугольнике биссектриса совпадает с высотой ⇒поэтому О лежит на высоте ВН.
АН=42 :2=12( т.к. ВН и медиана ) . Будем искать r из ΔКВО.
2) ΔАВН-прямоугольный, по т. Пифагора ВН=√(15²-12²)=9. Тогда отрезок ВО можно выразить так ВО=9-r.
По свойству отрезков касательных АН=АК=12⇒КВ=15-12=3.
3) ΔКВО-прямоугольный , по свойству радиуса , проведенного в точку касания . По т. Пифагора ВО²=ОК²+КВ²
(9-r)²=r²+3² ,81-18r+r²=r²+9 ,18r=72 , r=4 .
Медиана трегольника может быть равна или больше высоты, но никогда - меньше. Равной она бывает в равнобедренном или равностороннем треугольнике.
Перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки к прямой, меньше всякой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой.
В данном случае этой точкой являетя вершина, из которой проведены медиана и высота.
Если медиана проведена не в равнобедренном треугольнике, она наклонна к стороне, к которой проведена. Высота перпендикулярна к основанию, а медиана наклонна. С высотой она составляет прямоугольный треугольник и является в нем гипотенузой, а гипотенуза всегда больше катета.
