Пусть
K,
L,
Mи
Nсередины сторон соответственно
AB,
BC,
CDи
ADвыпуклого четырёхугольника
ABCD,
LN = 2,
KM = 7.
Отрезки
и
MN —средние линии треугольников
ABCи
ADC,поэтому
KL ‖ AC,
KL = 1 2 AC,
MN ‖ AC,
MN = 1 2 AC,значит, четырёхугольник
KLMN —параллелограмм, а так как его диагонали
KMи
LNперпендикулярны, то это — ромб. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей, т. е.
S KLMN = 1 2 · 2 · 7 = 7.
Поскольку
средняя линия треугольника
ABC,площадь треугольника
KBLравна четверти площади треугольника
ABC.Аналогично, площадь треугольника
MDNравна четверти площади треугольника
ADC, поэтому
S △KBL + S △MDN = 1 4 S △ABC + 1 4 S △ADC = 1 4 (S △ABC + S △ADC ) = 1 4 S ABCD .
Аналогично,
Следовательно,
S KLMN = S ABCD − S △KBL − S △MDN − S △KAN − S △MCL =
= S ABCD − 1 4 S ABCD − 1 4 S ABCD = S ABCD − 1 2 S ABCD = 1 2 S ABCD ,
S ABCD = 2S KLMN = 2 · 7 = 14.
Кожна паралельна сторона утвореного меньшого трикутника до паралельной стороны другого більшого трикутника буде у два рази меньшою, так, як буде вважатися середньою лініею більшого трикутника.
Звідси сторони великого трикутника будуть так само відноситися, як і в малому трикутнику.
х - коєфіціент пропорційності
Отже 1 сторона буде 4х, 2 сторона буде 7х, а 3 сторона буде 8х. Так, як сума цих сторін буде 76см., то маемо рівняння:
7х+4х+8х=76
19х=76
х=4см.
Отже 1 сторона=4х=4*4=16см.;
2 сторона=7х=7*4=28см.;
3 сторона=8х=8*4=32см.
