В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 ABCD-прямоугольник. Все боковые грани тоже прямоугольники. AD=12, CD=5, A1C=15. Найдите углы между A1C и плоскостью АВС и между A1C и плоскостью BB1С1.
а) Угол между А1С и плоскостью АВС– это угол АСА1 между А1С и её проекцией АС на плоскость АВС.
По т.Пифагора АС=√(AD*+CD*)=√(144=25)=13
cosACA1=AC:A1C=13/15
б) Угол между А1С и плоскостью ВВ1С - это угол А1СВ1 между А1С и её проекцией СВ1 на плоскость ВВ1С.
sin A1CB1=A1B1:A1C
A1B1=CD=5
sin A1CB1=5:15=1/3
ответ: arccos 13/15 ( это 29°55') и arcsin 1/3 ( это 19°28')
Сделаем рисунок.
Обозначим основание высоты треугольника буквой Н, верхнюю сторону вписанного квадрата КМ, пересечение высоты ВН треугольника со стороной КМ квадрата буквой Е
Стороны квадрата параллельны.
Рассмотрим треугольники АВС и КВМ
Они подобны по равным углам: один общий, другие при параллельных основаниях.
Пусть сторона квадрата КМ=а.
Тогда ВЕ=24-а
Из подобия треугольников справедливо отношение
АВ:КМ=ВН:ВЕ
40:а=24:(24-а)
40*(24-а)=24а
960-40а=24а
960=64а
а= 15 см
Площадь квадрата
S=а²=15²=225 см²
