В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми AB1 и BC1.

Высота. медиана, биссектриса в равнобедренном треугольнике
Доказательство теоремы номер 2:

Дан Δ ABC.
Из точки В проведем высоту BD.
Треугольник разделился на Δ ABD и ΔCBD. Эти треугольники равны, т.к. гипотенузы и общий катет у них равны (теорема Пифагора).
Прямые АС и BD называются перпендикуляром.
В Δ ABD и Δ BCD ∠ BАD = ∠ BСD (из Теоремы 1).
АВ = ВС — боковые стороны равны.
Стороны АD = СD, т.к. точка D отрезок делит пополам.
Следовательно Δ ABD = ΔBCD.
Биссектриса, высота и медиана это один отрезок - BD

Намалюйте правильний пятикутник АВСDЕ.  

Оскільки він правильний, то в нього всі сторони рівні і всі кути рівні, причому кожний внутрішній кут дорівнює 108 градусів.  

Проведіть діагональ, наприклад АС. Тоді утвориться трикутник АВС і чотирикутник АСDЕ.  

Трикутник АВС який? Рівнобедрений, бо в нього дві сторони рівні. АВ = ВС. АС буде його основою. А кути при основі рівнобедреного трикутника рівні. Значить, кут ВАС = ВСА = (180 - 108):2 = 36 градусів.  

Знайдіть кут САЕ.  

кут САЕ = 108 - 36 = 72 градуси  

Розглянемо АС і DЕ. АЕ їх січна. Кути САЕ і АЕD - внутрішні односторонні.  

72 + 108 = 180 градусів. Оскільки сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180 градусів, то прямі паралельні. Отже. АС паралельно DЕ. Тобто діагональ паралельна стороні.  

Аналогічно для будь-якої діагоналі можна довести.