Второй угол треугольника в основании (90 - альфа).
Теперь главное - ясно, что вершина пирамиды проецируется в центр вписаной окружности. Это потому, что основание высоты равноудалено от сторон на расстояния, равные высоте пирамиды, умноженной на ctg(бета). Если аккуратно построить двугранные углы боковых граней, опуская перпендикуляры на стороны основания, то это сразу видно.
Центр вписаной окружности лежит на пересечении биссектрис. Поэтому
r = b*sin(альфа/2);
Боковые стороны тоже легко вычисляются, один катет = r + b*cos(альфа/2);
второй = r+ r*ctg(45 - альфа/2).
Высота пирамиды равна r*tg(бета). Отсюда всё находится.
S = (1/2)*(b^2)*(sin(альфа/2) + cos(альфа/2))*sin(альфа/2)*(1+ctg(45 - альфа/2));
Наверно, это выражение можно упростить. Мне удалось до такого выражения:
S = (b^2/2)*(1 + sin(альфа) - cos(альфа))*(1+sin(альфа)+cos(альфа))/(2*cos(альфа))
Надеюсь, я нигде не ошибся. На всякий добавил скан, как я упрощал.
V = (1/3)*S*b*sin(альфа/2)*tg(бета)
Теорема
Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство. Пусть у треугольников ABC и A1B1C1 ∠ A = ∠ A1, AB = A1B1, AC = A1C1.
Пусть есть треугольник A1B2C2 – треугольник равный треугольнику ABC, с вершиной B2, лежащей на луче A1B1, и вершиной С2 в той же полуплоскости относительно прямой A1B1, где лежит вершина С1.
Так как A1B1=A1B2, то вершины B1 и B2 совпадают.
Так как ∠ B1A1C1 = ∠ B2A1C2, то луч A1C1 совпадает с лучом A1C2.
Так как A1C1 = A1C2, то точка С1 совпадает с точкой С2. Следовательно, треугольник A1B1C1 совпадает с треугольником A1B2C2, а значит, равен треугольнику ABC. Теорема доказана.
