Высота СК прямоугольного треугольника АВС, проведенная к гипотенузе, делит ее на отрезки длиной 4 см и 36 см. Найдите катеты и периметр треугольника

r = 6 см

см

Объяснение:

Трапеция вписана в окружность, значит она равнобедренная.

AB = CD.

Трапеция описана около окружности, значит суммы противоположных сторон равны.

AB + CD = AD + BC = 24 + 6 = 30 см

AB = CD = 30 : 2 = 15 см

Проведем высоту СН.

По свойству равнобедренной трапеции отрезок HD равен полуразности оснований:

HD = 0,5 · (AD - BC) = 0,5 · (24 - 6) = 0,5 · 18 = 9 см

ΔCHD:  ∠CHD = 90°, по теореме Пифагора

 CH = √(CD² - HD²) = √(15² - 9²) = √(225 - 81) = √144 = 12 см

Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен половине ее высоты.

r = 0,5 CH = 0,5 · 12 = 6 см

ΔCHD:  ∠CHD = 90°

Из ΔACD по теореме косинусов:

AC² = AD² + CD² - 2 · AD · CD · cosα

AC² = 24² + 15² - 2 · 24 · 15 · 0,6

AC² = 576 + 225  - 432 = 369

AC = √369 = 3√41 см

Треугольник ACD вписан в ту же окружность, что и трапеция.

По следствию из теоремы синусов:

см

1. При основании равнобедренного треугольника АВС углы могут быть только
острые. Следовательно, <EAK - тупой, как смежный с острым и может быть
только вершиной равнобедренного треугольника. 
Угол ВАС - внешний угол равнобедренного (дано) треугольника ЕАК при вершине
А, значит <BAC=2*<AKE (так как внешний угол равен сумме двух внутренних, не
смежных с ним, а углы АЕК и АКЕ равны, как углы при основании равнобедренного треугольника). Тогда угол АКЕ равен половине угла ВАС.
В равнобедренном (дано) треугольнике РКС <PCK=<BAC - углы при основании равнобедренного треугольника АВС, а <PKC=<AKE, как вертикальные и равны 0,5*ВАС. Значит у равнобедренного треугольника РКС равные углы <PCK и <KCP, которые равны углу ВАС.
Итак, в треугольнике РКС два угла равны углу ВАС, а третий угол равен 0.5*ВАС и в сумме они равны 180°. Отсюда угол ВАС=180:2,5=72°.
Следовательно, углы треугольника АВС равны 72°, 72° и 36° (180°-72°-72°=36).
ответ: в треугольнике АВС угол А=72°, угол В=36° и угол С=72°.
2. а) Биссектрисы углов параллелограмма отсекают от него равнобедренные
треугольники. Значит ВС=СК=АD=DK (так как ВС=AD, как стороны параллелограмма).
Следовательно, АВ=СD=2*BC. Периметр параллелограмма дан.
Pabcd=2*(AB+BC)=2*(3ВC)=45. тогда ВС=7,5, а АВ=15.
ответ: Стороны параллелограмма АВ=CD=15, BC=AD=7,5.
б) Дано: (ВС+СК+ВК)-(AD+DK+AK)=3 или
ВС+СК+ВК-AD-DK-AK=3. ВС=AD, СК=КD. Значит ВК-АК=3, ВК=АК+3.
Углы параллелограмма, прилежащие к одной стороне, в сумме равны 180°.
Значит половины этих углов в сумме равны 90⁰.
Тогда треугольник АВК - прямоугольный с углом К=90° и по Пифагору имеем:
АВ²=АК²+ВК² или АВ²=АК²+(АК+3)² или 2АК²+6АК-216=0 или АК²+3АК-108=0.
Отсюда АК=(-3+√(9+432)/2=9. (Отрицательное значение не удовлетворяет
условию). ВК=9+3=12.
ответ: АК=9, ВК=12.

Можно решить с применением теоремы косинусов:
По теореме косинуов ВК²=ВС²+СК²-2*ВС*СК*Cosα (1), а АК²=АD²+DK²-2*AD*DK*Cos(180-α). AD=BC, DK=CK, Cos(180-α)=-Cosα.
Тогда АК²=BC²+CK²+2*ВС*СK*Cosα.(2).
Сложим (1) и (2): ВК²+АК²=4ВС² или ВК²+АК²=225. ВК=3+АК.
Тогда (3+АК)²+АК²=225.
Отсюда АК=9. ВК12.