Дві сторони трикутника відносяться як 3:8, а кут між ними становить 60°. Знайдіть сторони трикутника, якщо
його периметр дорівнює 36 см.
​

1. відповідь: а) р=36cм; б) s=24sqrt(3)см^2. а) знайдемо третю сторону за теоремою косинусів: с^2=a^2+b^2-2ab*cos(c)=16^2+6^2-2*16*6*cos(60градусів) =196 c=sqrt(196)=14. тому p=a+b+c=16+6+14=36. б) знайдемо площу за формулою: s=(ab*sin(c))/2=(16*6*sin(60градусів)) /2=24sqrt(3). 2. відповідь: сторона=4см, площа=16см^2. площа круга дорівнює pi*r^2. тому r=sqrt(8). сторона квадрата, вписаного в коло, дорівнює sqrt(2)*r= sqrt(2)*sqrt(8)=4. відповідно площа квадрата дорівнює 4^2=16. 3. відповідь: 384см^2. довжина першого катета дорівнює 12+20=32. бісектриса ділить сторону трикутника на відрізки, що відносяться як 2 інші сторони. тому (другий катет): (гіпотенуза) =12: 20=3: 5. нехай другий катет дорівнює 3х і гіпотенуза дорівнює 5х. тоді, за теоремою піфагора, (3х) ^2+32^2=(5х) ^2 16x^2=1024 x=8. тому другий катет дорівнює 3*8=24. площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку його катетів: s=32*24/2=384.

Центр вписанной окружности треугольника - точка пересечения биссектрис.

В равностороннем треугольнике все биссектрисы являются также высотами и медианами.

h =a*sin60 =√3/2 a

Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1 от вершины.

r =1/3 h =√3/6 a

a =6/√3 r =6/√3 *4√3 =24

Или

Точка пересечения биссектрис - центр вписанной окружности (O).

В равностороннем треугольнике все биссектрисы являются также высотами и медианами.

OH=4√3 (радиус), AC=2AH

В треугольнике (AOH) с углами 30, 90 стороны относятся как 1 :√3 :2

(катет против угла 30 равен половине гипотенузы, далее по теореме Пифагора)

AH=OH*√3 => AC=OH*2√3 =4√3 *2√3 =24