Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 14 см. 7 см. 4 см. Вычислите: а)Диагональ параллелепипеда.
б)Площадь поверхности параллелепипеда.
в)Объём параллелепипеда.
г)Длину проволоки, необходимой для изготовления каркасной модели этого параллелепипеда, с учётом, что на крепление расходуется 2%.

БИЛЕТ №19.                        1.На листочке бумаги чертишь по линейке одну сторону. Обозначь, например конечные точки А и ВЦиркулем на линейке берешь размер второй стороны, в точку А ставишь иголочку циркуля. Карандашом циркуля проводишь дугу.Теперь берешь циркулем размер третьей стороны. Из точки В проводишь циркулем дугу. Где дуги пересеклись, поставь точку С. Это третья вершина твоего треугольника. Соедини точки А, В, С по линейке.А теперь подумай -если сумма длин сторон АС и ВС будет меньше или равна длине стороны АВ, разве твои дуги пересекутся? Попробуй для интереса. Нет, не пересекутся.Отсюда и делаем вывод ( для этого и задачу задали) -сумма двух сторон должна быть больше третьей стороны.
2.Теорема (Соотношение между сторонами и углами треугольника) . В произвольном треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Доказательство. Пусть в треугольнике АВС сторона АВ больше стороны АС. Докажем, что угол С больше угла В. Для этого отложим на луче АВ отрезокAD, равный стороне АС. Треугольник АСD - равнобедренный. Следовательно, Ð1 = Ð2. Угол 1 составляет часть угла С. Поэтому Ð1 < ÐC. С другой стороны, угол 2 является внешним углом треугольника ВСD. Поэтому Ð2 > ÐB. Следовательно, имеем ÐC > Ð1 = Ð2 > ÐB. Следствие: В произвольном треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Докажем, что если в треугольнике АВС угол С больше угла В, то и сторона АВ больше стороны АС. Действительно, эти стороны не могут быть равны, так как в этом случае треугольник АВС был бы равнобедренным и, следовательно, угол С равнялся бы углу В. Сторона АВ не может быть меньше стороны АС, так как в этом случае, по доказанному, угол С был бы меньше угла В. Остается только, что сторона АВ больше стороны АС. 
3.1) 2+3=5(см) - боковая сторона. 2) 5+2=7(см) - основание Проверка: 5х2=10, 10-3=7 Так же: х - основание у - боковая сторона у+2=х х+3=у2 у+2+3=у2 Так как чтобы из у получить у2 надо к у прибавить у, то (2+3)=у                                                  БИЛЕТ №201. Поставить острие циркуля в вершину угла и на обоих лучах угла отложить равные отрезки (сделать засечки). Не меняя раствора циркуля поставить поочередно острие циркуля на засечки, сделанные в шаге 1, и провести дуги, так, чтобы они пересеклись. Точку пересечения дуг соединить с вершиной угла. Это и будет биссектриса. 
2.Пусть Δ ABC – равнобедренный с основанием AB , и CD – медиана, проведенная к основанию. В треугольниках CAD и CBD углы CAD и CBD равны, как углы при основании равнобедренного треугольника (по теореме 4.3), стороны AC и BC равны по определению равнобедренного треугольника, стороны AD и BD равны, потому что D – середина отрезка AB . Отсюда получаем, что Δ ACD = Δ BCD .Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ACD = BCD , ADC = BDC . Из первого равенства следует, что CD – биссектриса. Углы ADC и BDC смежные, и в силу второго равенства они прямые, поэтому CD – высота треугольника.Теорема доказана.
3.Если внешний угол А равен 120 => сам угол А = 60 (как смежные углы, т. е. 180-120). если угол А = 60 => угол В = 30 градусов. В прямоугольном треукгольнике напроитв угла в 30 градусов лежит катет равный половине гипотенузы. то есть. АВ = 2 * АС. =>2*АС + АС = 18.=> 3*АС = 18 => АС = 6 => АВ = 18 - 6 = 12БИЛЕТ №211.Возьми циркуль и выстави на нём длину чуть меньше отрезка. Иглу на начало отрезка, чертим окружность. Иглу на конец отрезка, чертим окружность. Окружности пересекутся в двух точках, соедини эти точки прямой. Прямая пересечёт середину заданного отрезка.
2.Пусть при пересечении прямых а и b секущей c сумма односторонних углов равна 180. Т. к. эти углы 3 и 4 смежные, то 3+4=180. Из этих двух равенств следует, что накрест лежащие углы 1 и 3 равны, поэтому прямые параллельны. 
3.AO=MH, так как ОС и ЕН - медианы треугольников ABC и MKE. Так как углы С и Е равны и ВС=КЕ, то углы АСО и МЕН также равны. Так как углы В и К равны, то соответственно углы А и М равны, из этого следует, что треугольники АСО и МЕН равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

1) Если в треугольнике АВС даны не векторы, а координаты его вершин А(10;-2;8) В(8;0;7) С (10;2;8), то находим длины сторон:
АВ = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²+(Zв-Zа)²)= √9 = 3,
BC = √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²+(Zс-Zв)²) =√9 = 3,
AC = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²+(Zс-Zа)²) = √16 = 4.
Периметр равен 3+3+4 = 10.

2. Векторы: a(2;-4;5) b(4;-3;5).
Находим модули векторов:
|a| = √(4+16+25) = √45 = 3√5,
|b| √(16+9+25) = √50 = 5√2.
cos(a∧b) = (2*4+(-4)*(-3)+5*5)/(√45*√50) = (8+12+25)/√2250 =
              = 45/(15√10) = 3/√10 ≈  0,948683.     
 
 3. Если даны координаты точек: А(2;4;5) В(-3;2;2) С(-1;0;3),
то вектор СА = (2+1=3; 4-0=4; 5-3=2) = (3; 4; 2),
    вектор ВС = (-1+3=2; 0-2=-2; 3-2=1) = (2; -2; 1).

Скалярное произведение а*c=ВС*СА
a · c = ax · cx + ay · cy + az · cz  = 6  - 8 + 2 = 0.
Если скалярное произведение векторов равно нулю, то они перпендикулярны.