1. Верно ли утверждение, что прямая перпендикулярна лежащим в этой плоскости:
а) двум сторонам треугольника
б) двум сторонам трапеции
в) двум диаметрам круга.
2. Докажите, что через любую точку прямой в пространстве можно провести
две различные перпендикулярные ей прямые.
3. Прямые а, b, с лежат в плоскости α. Прямая m перпендикулярна
прямым а и b, но не перпендикулярна с. Каково взаимное расположение
прямых а и b?

1. Утверждение "прямая перпендикулярна лежащим в этой плоскости" верно для всех трех вариантов (а, б, в), так как перпендикулярность указывает на то, что две прямые образуют прямой угол (угол величиной 90 градусов) между собой. Все указанные объекты (стороны треугольника, стороны трапеции и диаметры круга) лежат в одной и той же плоскости, и поэтому перпендикулярность между ними возможна.

2. Чтобы доказать, что через любую точку прямой в пространстве можно провести две различные перпендикулярные ей прямые, мы можем воспользоваться аксиомой Евклида, которая гласит: "Из произвольной точки, не лежащей на прямой, можно провести только одну перпендикулярную этой прямой прямую".

Предположим, что у нас есть прямая l и произвольная точка А вне этой прямой. Используя аксиому Евклида, мы можем провести одну перпендикулярную прямую к l, пусть это будет перпендикуляр m₁.

Теперь мы можем провести параллельную прямую к l через точку А, пусть это будет некая прямая m₂.

Таким образом, мы получили две различные перпендикулярные прямые (m₁ и m₂), проходящие через данную произвольную точку А и являющиеся перпендикулярными к исходной прямой l.

3. Учитывая условие, что прямая m перпендикулярна прямым a и b, но не перпендикулярна c, мы можем сделать следующие выводы о расположении прямых a и b:

- Прямая m является общей перпендикулярной для прямых a и b, поэтому она пересекает их обе.

- Прямая c не перпендикулярна m, что означает, что они не пересекаются.

- Из первых двух выводов следует, что прямые a и b пересекаются на прямой m, но не пересекаются на прямой c.

Таким образом, можно сказать, что прямые a и b пересекаются на общей прямой m, но не пересекаются на прямой c.