В трапеции основания АД и ВС равны 36 и 12, а сумма углов при основании АД равна 90º
Найдите радиус окружности, проходящей через точки А и В и касающейся прямой СД, если АВ=10
Для успешного решения задачи очень важно сделать правильный рисунок.
Из того, что сумма углов при основании АД равна 90º, следует, что продолжение АВ и СД пересекаются под углом 90º.
Достроим трапецию до прямоугольного треугольника АКД
Рассмотрим рисунок.
Не составит труда доказать, что треугольники ВКС и АКД - подобны.
∠ К в них - общий,
ВС||АД,
∠ КСВ=∠КДА по свойству углов при пересечении параллельных прямых секущей.
Коэффициент подобия АД:ВС=36:12=3
Тогда АК:ВК=3
АК=АВ+ВК
(АВ+ВК):ВК=3
(10+ВК):ВК+3
10+ВК=3ВК
2ВК=10
ВК=5
Пусть точка касания окружности и прямой СД будет М
Соединим центр О окружности с вершиной В трапеции и точкой касания М.
Так как углы ОМК и АКМ прямые, ОМ и АК - параллелльны.
Рассмотрим треугольник АОВ.
Его стороны АО и ОВ, являясь радиусами окружности, равны.
Треугольник АОВ - равнобедренный.
Проведем в нем высоту ОН.
Эта высота - и медиана ( треугольник ведь равнобедренный).
Следовательно, НВ =5.
Рассмотрим четырехугольник НКМО.
Это прямоугольник с равными сторонами НК=МО.
МО - радиус окружности.
НК=НВ+ВК=5+5=10
МО=НК=10
Радиус окружности равен 10.
Построим прямой угол А и две материальные точки (В и С) которые движутся от тоски А со скоростью 5 см/с и 12 см/с. Расстояние между этими точками (ВС) будет являться гипотенузой треугольника АВС
Пусть время за которое между данными точками окажется расстояние равное 52 см будет равно х секунд, тогда пройденный путь (катеты АВ и ВС) 5х см и 12х см.
По теореме Пифагора: а^2+b^2=c^2 (где a и d катеты, c гипотенуза прямоугольного треугольника).
Подставим наши значения и решим полученное уравнение:
(5x)^2+(12x)^2=52^2
25x^2+144x^2= 2704
169x^2= 2704
x^2= 2704/169
x^2=16
x=√16
x1=-4
x2=4
Так как время не может быть отрицательным первый корень нам не подходит
ответ: через 4 секунды расстояние между точками будет равно 52 см.
