5. Найдите углы ромба ABCD, если его диагонали AC и BD равны

В квадрате диагонали перпендикулярны друг другу.
Если есть точка М(х₁ у₁) и прямая Ах + Ву + С =  0, то уравнение перпендикулярной прямой: А(у - у₁) - В(х - х₁) = 0.
Подставляем известные данные: точка А(5;-4) и прямая - диагональ ВД: х - 7у - 8 = 0.
Уравнение диагонали АС: 1*(у - (-4)) - (-7)*(х - 5) = 0.
у + 4 + 7х - 35 = 0,
АС: 7х + у - 31 = 0.
Эта же прямая в виду уравнения с коэффициентом:
у = -7х + 31.

В уравнении типа у = кх + в коэффициент к - это тангенс угла наклона прямой к оси "х".
Стороны квадрата проходят под углом +45° и -45° к диагонали.
Используем формулу тангенса суммы (разности) углов:
.
Используя к = -7 для АС, находим "к" для сторон АВ и АД:



Теперь переходим к уравнениям сторон.
У параллельных прямых коэффициент к одинаков.
Найдём координаты точки С, симметричной точка А относительно прямой ВД.
Алгоритм решения :
1) Находим прямую (диагональ АС), которая перпендикулярна прямой ВД.
2) Находим точку К пересечения прямых - это будет центр квадрата.
3) Точка К является серединой отрезка АС. Нам известны координаты середины и одного из концов. По формулам координат середины отрезка находим точку С.

1) Уравнение АС найдено.
2) ВД:   х - 7у - 8 = 0             -7х + 49у + 56 = 0
    АС: 7х + у - 31 = 0             7х +      у - 31 = 0
                                               --------------------------
                                                        50у + 25 = 0
                                                            у = -25 / 50 = -1/2.
                                         х = 7у + 8 = 7*(-1/2) + 8 = -3,5 + 8 = 4,5.
Получили координаты точки К(4,5; -0,5).

3) Хс = 2Хк - Ха = 2*4,5 - 5 = 9 - 5 = 4.
     Ус = 2Ук - Уа = 2*(-0,5) - (-4) = -1 + 4 = 3.

Уравнения сторон:
АВ: -4 = (-3/4)*5 + в      в = -4 + (15/4) = (-16/4) + (15/4) = -1/4.
АВ: у = (-3/4)х - (1/4).

СД: 3 = (-3/4)*4 + в       в = 3 + (12/4) = 3 + 3 = 6.
СД: у = (-3/4)х + 6.

АД: -4 = (4/3)*5 + в       в = -4 - (20/3) = (-12/3) - (20/3) = -32/3
АД: у = (4/3)х - (32/3).

ВС: 3 = (4/3)*4 + в        в= 3 - (6/3) = (9 - 16)/3 = -7/3.
ВС: у = (4/3)х - (7/3).

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = АС•√2, BC = 6. Найдите высоту CН.
По т.Пифагора АВ²=АС²+ВС²
АВ²-АС²=ВС²
Примем АС=а. Тогда гипотенуза АВ=а√2. 
2а²-а²=36⇒
а=√36=6 
a√2=6√2
АС=ВС - треугольник равнобедренный. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, совпадает с медианой. 
В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота из прямого угла=0,5 гипотенузы ( по свойству медианы из прямого угла). 
СН =(6√2):2=3√2

Иногда эту высоту требуется записать в ответе как √2CH. Тогда, так как √2•3•√2=6, в ответе пишется 6.