1. Найдите длину прямоугольного треугольника, если его сторона в 3 раза меньше подошвы, а периметр равен 100 см. [ ] 2Середина отрезка 2ab-точка C. Через точку С проведена прямая, перпендикулярная отрезку AB. Докажите, что расстояние от каждой точки Е, лежащей вдоль этой перпендикулярной прямой, до концов отрезка AB равно.

1) 60/13

2) АD=13

3) 60√3

4) 120/13

Объяснение:

ABCD-ромб⇒АС⊥ВD, АО=0,5АС, DО=0,5ВD

АО=0,5АС=0,5·10=5

DО=0,5ВD=0,5·24=12

АС⊥ВD, по теореме Пифагора АD²=АО²+DО²=5²+12²=25+144=169⇒АD=13

2) АВ=ВС=СD=АD=13-сторона ромба

3) Площадь орт.проекции фигуры на плоскость равна произведению площади данной фигуры на косинус угла между плоскостью и данной фигурой.

Площадь ромба по готовой формуле: S=0,5AC·BD=0,5·10·24=120

Площадь орт проекции: s=S·cos((ABCD)∧α)=120·cos30°=120·√3/2=60√3

4) Через точку О - пересечение диагоналей ромба проведём перпендикуляр к стороне ВС, OM⊥BC.

Но так как ВС║AD⇒ME⊥AD, ME⊥BC⇒ME-высота ромба.

Ещё одна формула для нахождения площади ромба

S=ME·AD⇒120=ME·AD=13ME⇒ME=120/13

1) Опустим из точки М перпедикуляр МТ на плоскость α.

МТ⊥α, Е∈α⇒отрезок TE есть орт.проекция отрезка МЕ на плоскости α.

АD⊥МЕ⇒АD⊥ТЕ(теорема о трёх перпендикулярах)

Значить, ∠МЕT=(АВСD∧α)=30°

МТ⊥α, ЕТ∈α⇒МТ⊥ ЕТ⇒∠МТЕ=90°

∠МТЕ=90°,∠МЕT=30°⇒MT=0,5ME=0,5 ·120/13=60/13

Растояние между ВD и пл.α и есть отрезок МТ=60/13

Р.S. Все 4 пункта вычислены. Соответствие это выбор подходящего варианта ответа

1-В

2-А

3-Б

4-Д

По одному из свойств касательных, проведённых из одной точки, отмеченные лучи являются биссектрисами углов ∠CBА и ∠EDC соответственно; если углы ∠АВС и ∠CDЕ являются равными, то и образованные биссектрисами углы тоже равны (∠ЕDО=∠ОDС=∠СВО=∠ОВА); получаем ΔDОВ с равными углами ∠ОDВ=∠DВО; что значит, что ΔDОВ - равнобедренный; DO=ВО;

По свойству такого радиуса проведённый отрезок ОС будет перпендикулярен прямой ВD; те OC - высота ΔDOВ; по свойству равнобедренного треугольника OC является и медианой; значит, СD=СВ;

По свойству касательных, проведённых из одной точки, отрезки ВС, ВА и DC, DЕ касательных попарно равны (те ВС=ВА и DC=DЕ); мы доказали, что DС=ВС; значит, ВС=ВА=DC=DЕ, ч.и.т.д.

Обратные теоремы действенны - нужно доказать тоже самое, только в обратную сторону. Поэтому напишу вкратце.

Если АВ=ВС=CD=DЕ, то при ОС⊥ВD ОВ=ОD (св-ва р/б Δ); тогда при ∠ОDВ=∠DВО и биссектрисах DO и ВО (∠ЕDО=∠ОDС и ∠СВО=∠ОВА) ∠ЕDО=∠ОDС=∠СВО=∠ОВА, ч.и.т.д.