ААА В треугольнике DEF DE = EF=19см. средний перпендикуляр стенки DE окружает стену DF в точке K. Определите длину стенки DF, если периметр треугольника EKF равен 58см.

Если провести все диагонали в шестиугольнике, то они его разрежут на шесть равных равносторонних треугольников со стороной, равной стороне шестиугольника. Значит площадь треугольника с той же стороной в шесть раз меньше площади шестиугольника. 
Выходит, если сторону шестиугольника увеличим в корень из 6 раз, (площадь при этом увеличится в 6 раз) и построим на ней равносторонний треугольник, задача окажется решённой. 

Так что дело сводится к тому, чтобы построить отрезок длины корень из 6 при заданном отрезке длины 1. Это можно сделать с теоремы Пифагора - построить два отрезка длины 2 и корень из 2 (последний - диагональ единичного квадрата). На этих отрезках строим прямоугольный треугольник. Его гипотенуза - нужный нам отрезок. 
Дальше дело техники - циркулем на стороне отрезка радиусом, равным длине отрезка строим две полуокружности, одну - с центром в начале отрезка, другую - с центром в конце. Точку их пересечения соединяем с концами отрезка - получится искомый треугольник.

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, значит половина диагонали 14 см 
если один из углов 120 то другой будет 180-120=60 
против большего угла лежит большая сторона значит меньшая сторона прямоугольника лежит против угла в 60 градусов 
так как полученный треугольник (тот, в который входит сторона прямоугольника меньшая и две половинки диагонали равнобедренный (14 и 140то углы при основании равны 
их сумма 180-60=120 
то каждый из углов при основании 120:2=60 
то есть полученный треугольник равносторонний и все стороны по 14 см 
значит и меньшая сторона 14 см