ПУсть плоскость проведенная через середины ребер AB, BC, BB1 пересекает эти ребра в точках N, M, K соответственно.
Δ BMN - равнобедренный, прямоугольный ==> угол M=углу N = 45 градусов
Δ ACD - равнобедренный, прямоугольный ==> угол A=углу C = 45 градусов
==>
MN || AC(т.к соответственные углы равны, при пересечении данных прямых прямой ВС)
Δ BКN - равнобедренный, прямоугольный ==> угол К=углу N = 45 градусов
Δ ABB1 - равнобедренный, прямоугольный ==> угол A=углу B1 = 45 градусов
==>
AB1 || KN(т.к соответственные углы равны, при пересечении данных прямых прямой ВB1)
==>
плоскость ACB1 || KMN
Δ ACB1 - равносторонний(AB1=B1C=AC)
рассмотрим Δ ACD - равнобедренный, прямоугольный, ==>
по т-ме Пифагора AC^2 = AD^2+CD^2 = 2*AD^2 AC= AD* корень из 2 = 2корня из 2
Pacb1 = 3*AC = 6корней из 2
Определение: "Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость".
Опустим перпендикуляр С1Н на прямую СD1, лежащую в плоскости А1ВС (это плоскость А1ВСD1, так как секущая плоскость пересекает параллельные плоскости АА1В1В и DD1C1C по параллельным прямым А1В и D1C). Отрезок С1Н перпендикулярен любой прямой, проходящей через точку Н, лежащую в данной плоскости (свойство). Значит <C1HB=90° и искомый угол - это угол С1ВН - угол между наклонной ВС1 м ее проекцией ВН на плоскость А1ВС. В прямоугольном треугольнике С1ВН: синус угла С1ВН - это отношение противолежащего катета С1Н к гипотенузе ВС1.
По Пифагору D1C=√(D1C1²+CC1²) = √(36+64) = 10 ед (так как АВ=D1C1, a AA1=CC1, как боковые ребра параллелепипеда.
Точно так же ВС1=√(ВC²+CC1²) = √(225+64) = 17 ед.
Высота С1Н из прямого угла по ее свойству равна:
С1Н=(С1D1*CC1/D1C = 6*8/10 = 4,8 ед.
Тогда Sinα = C1H/BC1 = 4,8/17 ≈ 0,2823.
α = arcsin0,2823 ≈ 16,4°.
