Пусть A1, B1 и C1 — середины BC, AC и AB соответственно, O — центр данной окружности, $ \angle$ACB = $ \alpha$.
Поскольку $ \angle$A1C1B1 = $ \angle$ACB = $ \alpha$, то треугольник A1B1C1 равен треугольнику B1A1C. Следовательно, радиусы данной окружности и окружности, описанной около треугольника A1B1C, равны.
Пусть прямая OC пересекает вторую окружность в точке M. Тогда MA1 = MB1 и OA1 = OB1. Поэтому, если точки O и M не совпадают, то OC $ \perp$ A1B1, а т.к. CO — биссектриса угла ACB, то CA1 = CB1 и AC = BC = 4. В этом случае
AC + BC = 4 + 4 = 8 < 2$\displaystyle \sqrt{19}$ = AB,
что невозможно. Значит, предположение о том, что точки M и O совпадают, не верно.
Таким образом, центр второй окружности лежит на первой. Тогда
$\displaystyle \angle$A1OB1 + $\displaystyle \angle$A1CB1 = 180o,
т.е.
2$\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \alpha$ = 180o, $\displaystyle \alpha$ = 60o.
Обозначим AC = x. Тогда по теореме косинусов
x2 + 16 - 4x = (2$\displaystyle \sqrt{19}$)2.
Из этого уравнения находим, что x = 10.
ответ
10.
Объяснение:
№2 ∠АСВ = 180° - ∠1 по свойству смежных углов,
∠DCB = 180° - ∠2 по свойству смежных углов,
∠1 = ∠2 по условию, значит и
∠АСВ = ∠DCB
AC = DC по условию,
ВС - общая сторона для треугольников АВС и DBC, ⇒
ΔАВС = ΔDBC по двум сторонам и углу между ними.
№3Треугольник AOB равен треугольнику COD. Поэтому ВО=OD, АО=ОС.
В ∆ ВОС и ∆ AOD стороны АО=ОС, BO=OD, углы ВОС=АОD как вертикальные.
∆ ВОС=∆ AOD по первому признаку равенства треугольников.
В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны -- ВС=AD.
Объяснение:
№1
