Высоты треугольника равны 12,8 и 6. найдите радиусы вписанной и описанной окружностей.

ВМ=КД по условию задачи.
ВС=СД как стороны прямоугольника.
угол АВМ равен углу СДК как накрестлежащие при пересечении параллельных прямых секущей.
Эти треугольника равны по двум сторонам и углу между ними.
------------
Получившийся четырехугольник - параллелограмм.
Четырехугольник АМСК составлен из двух треугольников.
Они равны, т.к. углы при М и К равны как дополняющие до 180 градусов углы ВМА и СКD, стороны АМ=СК равны в равных треугольниках, а МК - общая сторона.
Углы при М и К накрестлежащие при пересечении АМ и СК секущей, следовательно, АМ || СК, и параллельность и равенство противоположных сторон четырехугольника - признак параллелограмма. 
Четырехугольник АМСК будет ромбом, если исходный прямоугольник - квадрат. 

Дано :

Четырёхугольник ABCD — квадрат.

AD = 1 (ед).

BD — диагональ = √2 (ед).

Найти :

соs(∠BDA) = ?

Квадрат — четырёхугольник, всё стороны которого равны, а все углы прямые.

Рассмотрим прямоугольный ∆ABD.

Косинус острого угла прямоугольного треугольника — отношение прилежащего катета к гипотенузе.

В нашем случае катет, прилежащий к ∠BDA — AD, а гипотенуза — BD (так как лежит против прямого угла).

То есть —

cos(∠BDA) = AD/BD

cos(∠BDA) = 1 (ед) / √2 (ед)

cos(∠BDA) = 1/√2

Или —

cos(∠BDA) = (√2)/2 (одно и тоже).

(√2)/2.