Впрямоугольном треугольнике авс (угол с = 90°) медиана ам = m проведена к меньшему катету и образует с большим катетом угол 22°30′. найдите площадь треугольника.

Объяснение:

ABCD-параллелограмм⇒∠C=∠A, AD║BC

∠C=∠A⇒sin∠C=sin∠A

AD║BC⇒∠CBD=∠ADB

BE⊥AD⇒∠BED=90°

BF⊥AD⇒∠BFD=90°

∠BED=∠BFD=90°⇒ точки B,E,F,D лежат на одной окружности с диаметром BD. Тогда по теореме о равенстве вписанных углов имеем ∠BEF=∠BDF, ∠BDE=∠BFE

∠BFE=∠BDE=∠CBD

∠BEF=∠BDC, ∠BFE=∠CBD⇒ΔBEF~ΔBDC ч.т.д.

Из ΔBEF по теореме синусов имеем EF/sinEBF=2R, где R-радиус описанной окружности около ΔBEF⇒ R=0,5BD, так как это та самая окружность которая содержит точки B,E,F,D.

EF/sinEBF=2R⇒EF=2RsinEBF=BDsinC=BDsinA=15·0,4=6

Случаи того что угол В острый или тупой разбираются аналогично.

Из условия задачи следует, что угол при основании треугольника АВС равен 30 град. Обозначим сторону равнобедренного треугольника через а, основание через b, радиус описанной окружности через R. 
Половина основания b/2=а*cos(30)=a*sqr(3)/2,  b=a*sqr(3)
Известно, что:
R=a^2/sqr(4a^2-b^2)
Подставив значение b, получим: R=a
Отсюда: АВ=2 см
Во второй задаче центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения биссектрис, поскольку радиусы опущенные из центра в точки М, Т и Р, образуют пары равных прямоугольных треугольников (ВОМ и ВОТ и т.д.). Четырехугольник РОТС является квадратом, так как радиусы проведены в точки касания и перпендикулярны катетам. По условия диагональ этого квадрата равна корень из 8, следовательно сторона будет в корень из двух раз меньше, отсюда:
r=sqr(8/2)=2   Угол ТОР=90 град. Угол ТМР является вписанным, он измеряется половиной дуги, на которую опирается. Дуга составляет 90 градусов, так как ограничена точками Р и Т, а угол РСТ прямой. Следовательно угол ТМР=45 град.