Дан куб АВСDА1В1С1D1. Докажите В1D перпендикулярен D1С.
Объяснение:
Введем прямоугольную систему координат: В(0;0;0) ,ось ох по ребру ВА, ось оу по ребру ВС, ось оz по ребру ВВ1 .
Пусть ребро куба а, тогда координаты
В1(0;0;а) ,D (a; a;0) , вектор В1D(a; a;-a) .
D1(a; a; a) ,C(0;a;0), вектор D1C(-a; 0;-a ).
Найдем скалярное произведение в координатах :
В1D×D1C=a×(-a)+a×0+(-a)×(-a)=-a²+0+a²=0. Т.к. скалярное произведение равно нулю, то вектора перпендикулярны, а значит и прямые , на которых лежат эти вектора, перпендикулярны.
1) AD не параллельна BC, они пересекаются в точке E.
M - точка пересечения биссектрис внешних углов △AEB =>
M лежит на биссектрисе ∠E.
N - точка пересечения биссектрис △CDE =>
N лежит на биссектрисе ∠E.
Если MN перпендикулярна AB, то в △AEB совпадают биссектриса и высота.
Тогда △AEB - равнобедренный, углы при основании равны.
Углы A и B четырехугольника равны как смежные с равными.
2) AD параллельна BC, трапеция.
Биссектрисы внутренних углов при параллельных пересекаются под прямым углом.
Пусть E - середина AB.
ME - медиана из прямого угла, ME=AB/2
△BEM - равнобедренный, ∠EMB=∠EBM=∠CBM
ME||BC (по накрест лежащим) => M лежит на средней линии трапеции.
Аналогично N.
Если средняя линия перпендикулярна боковой стороне, то трапеция прямоугольная, ∠A=∠B=90.
