Найти площадь треугольника, координаты вершин которого А(-1;-7), В(3;1) и С(4;-13).
Есть несколько вариантов решения.
1) Прямо по координатам вершин по формуле:
Пусть точки A1(x1; y1), A2(x2; y2), A3(x3; y3) - вершины треугольника, тогда его площадь выражается формулой:
1/2 |x1-x3 y1-y3|
|x2-x3 y2-y3|
В правой части стоит определитель второго порядка. Площадь треугольника всегда положительна.
Решение. Принимая A за первую вершину, находим:
x1-x3 y1-y3
x2-x3 y2-y3 =
-1 - 4 -7 - (-13)
3 - 4 1 - (-13) =
-5 6
-1 14 = -5*14 - (-1)*6 = -64
По формуле получаем:S = (1/2)*|-64| = 32 кв. ед.
2) вышеприведенное решение - основано на векторном произведении.
Площадь равна половине модуля векторного произведения векторов
АВ и АС.
Находим векторы.
АВ = (3-(-1); 1-(-7)) = (4; 8)
АС = (4-(-1); -13-(-7)) = (5; -6).
Находим их векторное произведение с применением схемы Саррюса.
i j k| i j
4 8 0| 4 8
5 -6 0| 5 -6 = 0i + 0j - 24k - 0j - 0i - 40k = 0i + 0j - 64k.
Модуль равен √(0² + 0² + (-64)²) = 64.
Тогда площадь S = (1/2)*64 = 32 кв. ед.
3) Можно применить формулу Герона, предварительно определив длины сторон.
Координаты векторов сторон
АВ (c) BC (a) AС (b)
x y x y x y
4 8 1 -14 5 -6
Длины сторон АВ (с) = 16 64 80 = 8,94427191
BC (а) = 1 196 197 = 14,03566885
AC (b) = 25 36 61 = 7,810249676
Полупериметр р = 15,39509522
Площадь по Герону 15,39509522 6,450823307 1,359426369 7,584845541 = 32.
1)Дано: ∆АВС - равнобедренный.
∠В = 96°
Найти:
∠А, ∠С.
У равнобедренного треугольника углы при основании равны.
оба угла не могут быть по 96°, так как сумма углов треугольника равна 180°
Поэтому ∠В = 96°
180 - 96 = 84° - сумма углов при основании. (На рисунке углы при основании А и С)
Так как ∠А = ∠С => ∠А = ∠С = 84 ÷ 2 = 42°
ответ: 42°, 42°.
2) Дано:
∆CDE
∠E = 32°
CF - биссектриса.
∠CFD = 72°
Найти:
∠D
Сумма смежных углов равна 180°
∠CFD смежный с ∠CFE => ∠CFE = 180 - 72 = 108°
Сумма углов треугольника равна 180°
=> ЕCF = 180 - (108 + 32) = 40°
Так как СF - биссектриса => ∠С = 40 × 2 = 80°
Сумма углов треугольника равна 180°
=> ∠D = 180 - (32 + 80) = 68°
ответ: 68°
