Продовження бічних сторін Ав і CD трапецій ABCD перетинаються в точці L. Менша основа BC трапеції дорівнює 4 см LB=5см AB=7см. Знайдіть більшу основу трапеції

В трапеции АРСD    средняя линия равна полусумме оснований.
Значит, РС+AD=2·15
РС+25=30
РС=5 

ВС=ВР+РС
25=ВР+5
ВР=25-5=20

∠PAD=∠BPA  - внутренние накрест лежащие при параллельных ВС и AD и секущей АР.
∠ВАР=∠РАD - биссектриса АР делит угол А пополам.

Значит ∠BPA  =∠ВАР  и треугольник АВР - равнобедренный АВ=ВР=20

Противоположные стороны параллелограмма равны   CD=AB=20

Из треугольника АСD  по теореме косинусов:
АС²=AD²+DC²-2·AD·DC·cos ∠D    
(5√46)²=25²+20²-2·25·20·cos ∠D 
1150=625+400-1000·cos ∠D 

cos ∠D =-0,125

Противоположные углы параллелограмма равны
∠В=∠D

Из треугольника АBP по теореме косинусов:
АP²=AB²+BP²-2·AB·BP·cos ∠B
АP²=20²+20²-2·20·20·(-0,125)

АP²=400+400+100

АP²=900
AP=30

Р( трапеции АРСD)= АР+РС+СD+AD=30+5+20+25=80 


ответ. Р=80

Розглянемо трикутники АВМ і А1В1М1. За умовою АВ = А1В1, АМ = А1М1, ﮮВАС = ﮮВ1А1С1. Оскільки АМ і А1М1 – бісектриси рівних кутів ВАС і В1А1С1, тоді ﮮВАС = 2ﮮВАМ = ﮮВ1А1С1 = 2ﮮВ1А1М1, тобто ﮮВАМ = ﮮВ1А1М1. За двома сторонами та кутом між ними ∆ВАМ = ∆В1А1М1. У рівних трикутників відповідні сторони та кути рівні АВ = А1В1, ﮮВМА = ﮮВ1М1А1. Розглянемо трикутники АМС і А1М1С1. За умовою ﮮВАС = 2ﮮМАС = ﮮВ1А1С1 = 2ﮮМ1А1С1, тобто ﮮМАС = ﮮМ1А1С1, переконаємось, що ﮮАМС = ﮮА1М1С1, тобто різниця величин двох кутів дорівнює нулю. Кути розгорнуті ﮮВАС = ﮮВ1М1С1 = 180˚. Тому ﮮАМС – ﮮА1М1С1 = (180˚ - ﮮВМА) – (180˚ - ﮮВ1М1А1) = ﮮВ1М1А1 – ﮮВМА = 0˚. За стороною і двома прилеглими кутами ∆АМС = ∆А1М1С1. У рівних трикутників відповідні сторони і кути рівні АС = А1С1, ﮮАСВ = ﮮА1С1В1, МС = МС1. За основною властивістю довжини відрізка ВС = ВМ + МВ = В1С1 = В1М1 + М1С1. Трикутники АВС і А1В1С1 рівні.