В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна a, а один из острых углов альфа. Найдите другой острый угол и катеты.

1)четырехугольник - это квадрат. Его сторона равна диаметру вписанной окружности, т. е 2R, где R- радиус вписанной окружности. Тогда площадь квадрата равна

Sкв = 4R^2

2) Разобьем шестиугольник на 6 треугольников отрезками, выходящими из центра к вершинам шестиугольника. Все эти треугольники правильные и равны между собой, т.к. угол при вершине 60 градусов и они равнобедренные, а высотой треугольника является радиус вписанной окружности, т. е. R. Сторону треугольников обозначим через X. Рассмотрим один из треугольников. 
Высота является в нем и медианой. Тогда,  рассмотрев треугольник, образованный  отрезком, проведенным из центра, половиной основания и высотой, имеем по теореме Пифагора

R^2 +(X/2)^2 = X^2, откуда
X^2= 4R^2/3,  X =2R/корень из 3
Площадь треугольника 
Sтр=X*R/2= 2R*R/2*корень из 3 =R^2/корень из 3
Площадь шестиугольника
 Sш =6Sтр= 6R^2/корень из 3 = 2* корень из 3* R^2

Отношение площадей
Sкв/Sш = 4R2/2* корень из 3* R^2 = 2/корень из 3

Проведем окружность с центром в точке В произвольного радиуса. Точки пересечения этой окружности со сторонами угла АВС обозначим E и F.

Проведем окружность с тем же радиусом с центром в точке D. L - точка пересечения окружности с лучом DK.

Проведем окружность с центром в точке Е и радиусом EF, и такую же окружность с центром в точке L. Р - одна из точек пересечения этой окружности с первой.

Затем построим такую же окружность с центром в точке Р. Обозначим точку ее пересечения с первой окружностью N.

Через точку N проведем луч DM.

Угол MDK - искомый.