В треугольнике ABC отмечены точки D на AB и E на АС так, что BC || DE. BC = 12, DE = 8, AC = 30, a BD на 12 меньше, чем AD. Найди AB.​

Т.к прямоугольный треугольник, с прямым углом С -р.б, значит равны его катеты (пусть они равны а)
Тогда АС=СВ, АВ -гипотенуза, по теореме пифагора:
АВ*АВ=АС*АС+СВ*СВ=а^2+a^2=2a^2
Следовательно: 2a^2=16, a^2=8, a=2*корень из 2=АС=ВС
В треугольнике АВС опустим высоту СН из прямого угла на сторону АВ.
Площадь АВС=0.5*АС*ВС, но также его площадь равна 0.5*СН*АВ
0.5*АС*ВС=0.5*СН*АВ
8=СН*4
СН=2
Т.к МС перпендикулярна плоскости АВС, то МС перпендикулярна и СН, СН в свою очередь перпендикулярна АВ, тогда по теореме о трех перпендикулярах, МН перпендикулярна АВ, тогда МН-расстояние от точки М до прямой АВ. 
Т.к. МС перпендикулярна СН, то треугольник МСН -прямоугольный с прямым углом МСН, тогда по теореме пифагора, МC*МC+СН*СН=МН*МН
MH^2=4+4
MH=2 корень из 2

Проекция ребра  SA  на плоскость будет OA  (SO ┴ (ABCDEF)  и  равна радиусу описанной около основания (здесь правильного шестиугольника) , что свою очередь равна сторону шестиугольника  a₆ = R =acosα ; SO =H =asinα .
  Vпир  =1/3*Sосн*H  =1/3*6*√3/4*(acosα)²*asinα  =(√3/2)*cos²α*sinα*a³ .
  При α=60° ; a= 2 получаем :   Vпир  = (√3/2)*1/4*(√3/2*8 =3/2. 
  Апофема   пирамиды  является образующий  конуса
Vкон  =1/3*π*r² *H 
r = (√3/2)*R  =(√3/2)*acosα.
Vкон  =1/3*π*((√3/2)*acosα)*asinα =.(π/4)*cos²α*sinα*a³ .   
Получилось  Vкон = ( π/2√3) *Vпир  .
 При α=60° ; a= 2 получаем : Vкон =( π/2√3)*3/2 =π√3/6.

L =√(a² - (R/2)² =√(a² -(1/2*acosα)²) =a/2*√(4 - cos²α) ;