У трикутнику АВС кут А=30°, кут В=60°. У цей трикутник вписано коло, яке дотикається до сторін трикутника АС та ВС відповідно у точках К та Р.Знайти кути трикутника КРС

Если известны стороны!
Проведем две медианы к боковым сторонам треугольника. 
Так как он равнобедренный, медианы эти равны и отсекают от исходного треугольника два меньших, равных между собой. 
Угол при основании неизвестен, поэтому обозначим его α и его косинус -  cosα
Выразим медиану одного из образовавшихся треугольников по теореме косинусов. 
Чтобы найти косинус угла при основании, применим теорему косинусов к данному в условии задачи треугольнику, стороны которого известны. 
Подставив найденное значение cosα в уравнение медианы, найдем ее длину.

Рассмотрим основание:в образованном треугольнике MON: OM = ON как радиусы, следовательно, треугольник равнобедренный, угол MON = 60 градусов по условию, углы OMN и ONM равны как углы равнобедренного треугольника по основанию, то есть <OMN = <ONM = (180-60)/2 = 120/2 = 60 градусов. Все углы треугольника равны по 60 градусов, следовательно, треугольник - правильный, и OM = ON = MN = r. Найдем высоту ОК: из прямоугольного треугольника OKN: из теоремы Пифагора: OK^2 = ON^2 - KN^2, ON = r, KN = r/2, поскольку в правильном треугольнике высота является и медианой, OK^2 = r^2 - (r/2)^2 = r^2 - r^2/4 = 3r^2/4, OK = корень из 3 умножить на r поделить на 2. Рассмотрим треугольник CON: из теоремы Пифагора: CO^2 = CN^2 - ON^2, из вычислений на картинке CO = корень из (l^2 - r^2) поделить на два. Рассмотрим треугольник СОК: за теоремой Пифагора: CK^2 = CO^2 + OK^2, из вычислений СК =  корень из (4l^2 - r^2) поделить на 2. Площадь образовавшегося сечения - это площадь треугольника CMN, которая равна стороне, умноженной на опущенную к ней высоту разделить на 2: S = CK*MN/2. S = (r*корень из ( 4l^2 - r^2)/8.
Аналогично по первому решению, во втором случае углы OMN и ONM = (180 - 90)/2 = 45 градусов. Тогда по теореме синусов: MN/sin90 = ON/sin45, MN = корень из 2 умножить на r. Из треугольника CON: CO = корень из (l^2 - r^2). Площадь второго треугольника равна r умножить на корень из (4*l^2 = 2r^2)/2) поделить на 2.