Через одну зі сторін ромба, діагоналі якого дорівнюють 6 см і 12 см, проведено площину а, що утворює з площиною ромба кут 30°. Знайдіть площу проекції даного ромба на площину а.
Имеем равнобедренный треугольник АВС, АВ = ВС = 10. Медиана АМ к стороне ВС равна √153. Медиана к основанию - это высота ВД.
Медиана разбивает треугольник на 2 равновеликих по площади. Тогда S(АВС) = 2S(АВМ). Площадь треугольника АВМ находим по формуле Герона: S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)). Полупериметр р = (10+5+√153)/2 = (15+√153)/2 ≈ 13,684658. Подставив данные, получаем S(АВМ) = 24. Тогда S(АВС) = 2*24 = 48.
Обозначим АД - половину стороны АС - за х. Высота ВД это Н = √(10² - х²) = √(100 - х²).
Тогда площадь треугольника АВС равна: S(АВС) = (1/2)*2x*H = х√(100-х²) = 48. Возведём обе части в квадрат. х²(100-х²) = 48². Заменим х² на у. Получаем квадратное уравнение: у² - 100у + 2304 = 0. Квадратное уравнение, решаем относительно y: Ищем дискриминант: D=(-100)^2-4*1*2304=10000-4*2304=10000-9216=784;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня: y_1=(√784-(-100))/(2*1)=(28-(-100))/2=(28+100)/2=128/2=64;y_2=(-√784-(-100))/(2*1)=(-28-(-100))/2=(-28+100)/2=72/2=36.
Отсюда находим 2 значения х = 8 и х = 6. Но второй ответ не принимаем, так как медиана АМ получается равной √97.
ответ: длина медианы, проведенной к ОСНОВАНИЮ треугольника, равна √(100-64) = √36 = 6.
Рассмотрим треугольник АСД и наклонную ВК. К∈АС. По теореме Менелая (АК/КС)·(СО/ОД)·(ВД/АВ)=1.
Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой, значит АД=ВД ⇒ ВД:АВ=1:2.
(АК/КС)·(1/1)·(1/2)=1, АК/КС=2:1.
Треугольники АОД и ВОД равны по двум сторонам и прямому углу между ними, значит ∠ОАД=∠ОВД. Треугольники ALB и ВКА равны по общей стороне АВ и прилежащим к ней углам, значит АК=BL, значит СК=CL, значит треугольник CKL равнобедренный, значит треугольники АВС и CKL подобны.
Коэффициент подобия тр-ков АВС и CKL: k=AC/КС. АК:КС=2:1 ⇒ АС:КС=3:1=k. Коэффициент подобия площадей тр-ков АВС и CKL k²=3²=9.
S(ABC)=АВ·СД/2=3·4/2=6,
S(CKL)=S(ABC)/k²=6/9=2/3 (ед²) - это ответ.
0,0(0 оценок)
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota
Оформи подписку
