Екі теңбүйірлі үшбұрыштың бүйір қабырғаларының арасындағы бұрыштары тең. Бір үшбұрыштың бүйір қабырғасы мен табаны 36см және 24см; екіншісінің табаны 16см. Оның бүйір қабырғасын табу керек

Теорема про три перпендикуляри. Якщо пряма, проведена на площині через основу похилої, перпендикулярна до її проекції, то вона перпендикулярна і до похилої. І навпаки, якщо пряма на площині перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна і до проекції похилої.На малюнку 415 АН - перпендикуляр до площини α; АМ - похила. Через основу похилої - точку М проведено пряму а. Теорема про три перпендикуляри стверджує, що якщо а  НМ, то а  АМ, і навпаки, якщо а  АМ, то а  НМ.

Приклад 1. З вершини квадрата АВСD проведено перпендикуляр АК до площини квадрата. Знайти площу квадрата, якщо КD = 5 см; КС = 13 см.Розв’язання (мал. 416). 1) АК  АВС; КD - похила; АDБ - її проекція. Оскільки АD  DС, то за теоремою про три перпендикуляри маємо КD  DС.3) Тоді площа квадрата S = 82 = 64 (см2).

Приклад 2. Сторони трикутника довжиною 4 см, 13 см і 15 см. Через вершину найбільшого кута до площини трикутника проведено перпендикуляр і з його кінця, що не належить трикутнику, проведено перпендикуляр завдовжки 4 см до протилежної сторони цього кута. Знайти довжину перпендикуляра, проведеного до площини трикутника.Розв’язання. 1) У ∆АВС: АВ = 4 см; ВС = 13 см; АС = 15 см. Оскільки АС - найбільша сторона трикутника, то АВС - найбільший кут трикутника. ВК  АВС (мал. 417).2) КМ  АС, тоді за теоремою про три перпендикуляри: ВМ  АС, тобто ВМ - висота ∆АВС. За умовою: КМ = 4см.3) Знайдемо площу трикутника АВС за формулою Герона.4) 3 іншого боку 

Пусть даны два прямоугольных треугольника АВС и А1В1С1, у которых <А=<А1=90°, <C=<C1 и высоты АН и А1Н1 равны.
Тогда и <B=<B1, так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, то есть <B=90-С, а <D1=90-С1.
Высоты АН и А1Н1 делят треугольники АВС и А1В1С1 на подобные.
Значит <BAH=<C, a <CAH=<B. Точно так же <B1A1H1=<C1,
a <C1A1H1=<B1. Но <C=<C1 a <B=<B1.
Значит <BAH=<B1A1H1, a <CAH=<C1A1H1.
Тогда прямоугольные треугольники АВН и А1В1Н1 равны по катету (АН=А1Н1 -дано)  и прилежащему острому углу (<BAH=<B1A1H1). Значит ВН=В1Н1.
Прямоугольные треугольники АСН и А1С1Н1 равны по катету (АН=А1Н1 -дано)  и прилежащему острому углу (<СAH=<С1A1H1). Значит СН=С1Н1.
ВС=ВН+СН, В1С1=В1Н1+С1Н1. Отсюда ВС=В1С1.
Гипотенузы треугольников ВС и В1С1 равны, острые углы их тоже равны, значит треугольники АВС и А1В1С1 равны по равенству гипотенузы и острому углу (третий признак).
Что и требовалось доказать.