Решение.
Сделаем рисунок, обозначим вершины углов трапеции привычными АВСD.
Точку касания окружности с прямой, которая содержит сторону СD, обозначим Н.
Середину АD обозначим М.
Продолжим АВ до пересечения с продолжением СD и точку пересечения обозначим К.
ВС равна половине АD по условию задачи, и потому, будучи параллельной ей,
является средней линией треугольника АКD.
Следовательно,
КС=СD,
ВК=АВ=6
Соединим С с серединой М основания АD.
СМ - параллельна АВ как вторая средняя линия треугольника АКD, так как АМ=МD и KC=CD.
Рассмотрим треугольник МСD.
Его стороны МС=6, CD=8, MD=10 и относятся как 3:4:5.
Это отношение - отношение сторон египетского треугольника -
и потому угол МСD- прямой.
Проверив это утверждение теоремой косинусов, или, что проще, теоремой Пифагора, сможем убедиться в его верности.
По той же причине ( отношение сторон треугольника АКD равно 3:4:5, угол АКD также прямой, а также еще потому, что АК|| МС.
Соединим центр окружности с вершинами А и В трапеции.
Получим равнобедренный треугольник АОВ.
Проведем высоту ОР ( она же и медиана этого треугольника) к АВ.
Рассмотрим четырехугольник РКНО.
В нем три угла прямые: угол ОНК прямой - так как радиус ОН перпендикулярен к касательной КD, угол КРО - как угол, образованный высотой равнобедренного треугольника АОВ, угол АКН - как соответственный углу МСD, следовательно, это - прямоугольник и сторона РК=ОН=R.
Так как выше доказано, что ВК=6, а РВ=половине АВ=3, РК=6+3=9 см
РК=ОН=R
Искомый радиус равен 9 см.
АВСD - равнобокая трапеция, АС и ВD диагонали, по условию они перпендикулярны.
Проведите СК параллельно диагонали ВD. К лежит на продолжении АD. Получится треугольник АСК. Он прямоугольный, потому что угол АСК= углу АОD = 90 градусов. К тому же этот треугольник равнобедренный, потому что в нем СК=АС. FR - основание треугольника.
Проведите высоту этого треугольника с вершины С. Пусть это будет отрезок СМ.
Высота в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию, будет чем ? -медианой. Значит, М - середина АК. СМ = 1/2АК = 1/2(АD + DК)
а DК = ВС, как противоположные стороны параллелограмма ВСКD.
Тогда
СМ = 1/2(а + в)
А средняя линия как раз и равна 1/2(а+в)
Значит, высота равна средней линии
