Кут AOB дорівнює 135°. Через точки A і B проведено прямі, які паралельні до сторін даного кута і перетинаються в точці С. Під яким кутом перетинаються
ці прямі?

Пусть АВ=ВС=а, АС=b, α - угол при вершине.
В тр-ке АВС по т. косинусов а²=b²+b²-2·b·b·cosα=2b²-2b²·5/13,
16b²/13=110²,
b²=110²·13/16.
В равнобедренном тр-ке высота равна: h=b²/2R=b²/(a/sinα).
sin²α=1-cos²α=1-25/169=144/169,
sinα=12/13.
BM=h=(110²·13/16)/(110·13/12)=110·3/4=82.5
Треугольники АВС и КВТ подобны по трём углам, значит АС/КТ=ВМ/ВО.
1) Пусть КТ=х, ОМ=2х, значит ВО=ВМ-ОМ=82.5-2х.
110/х=82.5/(82.5-2х) ⇒ х=30, 2х=60.
Площадь прямоугольника S=x·2x=30·60=1800 (ед²) - это ответ.
2) пусть ОМ=х, КТ=2х, значит ВО=82.5-х.
110/2х=82.5/(82.5-х) ⇒ х=33, 2х=66.
S=33·66=2178 (ед²) - это ответ.

Полное решение прикрепляю.

Идея решения:

1) Сначала, используя основное свойство параллелограмма, находим АС. Напомню это свойство: AC^2 + BD^2 = 2*(AB^2 + AD^2).

2) Рассматриваем треугольник AKB. Из теоремы косинусов:

AB^2 = AK^2 + BK^2 - 2*AK*BK*cosAKB -

выражаем cosAKB.

3) Используем основное тригонометрическое тождество: sin²α + cos²α = 1, - чтобы найти sinAKB. Так как угол AKB меньше 180 градусов, то его синус положительный.

4) Находим площадь параллелограмма через диагонали и угол между ними по формуле: S = 0,5*BD*AC*sinAKB. Вообще, строго говоря, нужно брать острый угол как угол между диагоналями, то есть угол CKB, но так как их синусы равны, то это не имеет значения.

5) Вспоминаем, что диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих (равных по площади) части, то есть площадь одной такой части будет равна одной четвертой площади параллелограмма. Отсюда площадь треугольника ABK S = Sпар/4.