Дан прямоугольный треугольник АВС
Нужно найти острые углы А и В этого треугольника.
Для этого нужно знать его гипотенузу АВ и катет СВ, затем угол А найти через его синус, угол В - через его косинус.
Нарисуем прямоугольный треугольник АВС. Проведем высоту СК.
Вспомним свойство высоты прямоугольного треугольника.
Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла есть среднее пропорциональное между отрезками гипотенузы, на которые гипотенуза разделена этой высотой.
СК²=АК*КВ
В то же время СК² из треугольника АСК равна по теореме Пифагора
СК²=АС²-АК²
Приравняем эти два выражения, т.к. в обоих случаях они означают равную величину.
АК*КВ=АС²-АК²
Примем АК=х
х*1=(2√3)²-х²
х²+х-12=0
Решим уравнение через дискриминант.
х=3
(второй корень -4 и не годится)
Теперь имеем треугольник, в котором один из катетов равен (2√3),
гипотенуза равна 3+1=4.
Для вычислений длина АС неудобна. Найдем СВ.
СВ²=16-12
СВ=√4=2
Cos В=SinА=1/2
Sin(30°)= 0.5
Cos(60°)=0.5
Угол А=30°
Угол В=60°
Сделайте рисунок к задаче.
Треугольник сильно вытянутый от АС к В. Точка К на стороне ВС близко к С.
Обратите теперь внимание на то, что
∠ В+∠С=∠АКВ.
Проведем из К параллельно АС прямую КЕ.
∠ ВКЕ равен ∠ С ( по свойству параллельных прямых и секущей).
Отсюда ∠ ВКА минус ∠ С= ∠ В.
Получили при АС ᐃ АКС~ᐃ АВС по двум углам
∠АСК=∠ЕКВ и ∠КАС=∠АВС.
В подобных треугольниках соответственные стороны лежат против равных углов.
ВС:АС=АС:КС
АС²=ВС*КС
АС²=18*2
АС=√36=6
Теперь из из этих же подобных треугольников найдем АВ
АВ:АК=ВС:АС
АВ:5=18:6
6АВ=90
АВ=15
