Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, ділить гіпотенузу на відрізки у відношенні 1 : 4. Знайдіть гіпотенузу трикутника, якщо висота дорівнює 20 см.

Дано: ABCD - трапеция
EF - средняя линия
EO = 3 см
OF = 4 см
Найти: AB
Решение.
1) Рассмотрим трапецию ABCD. Средняя линия EF параллельна основаниям AB и DC и делит стороны AD и BC трапеции пополам.
2) Рассмотрим треугольники EOD и ABD.
Углы EOD и ABD равны как соответственные при пересечении параллельных прямых EF и AB секущей BD.
Угол DBC общий. Следовательно, треугольник BOF подобен BDC.
3) Из подобия треугольников следует, что
AB / EO = AD / ED => AB = EO * AD / ED = EO * 2ED / ED = EO * 2 = 6 см.

Даны вершины пирамиды АВСD А(1,2,3), В(2;0;0), С(3;2;5), D(4;0;0).

1) Находим векторы АВ и АС.

АВ = (2-1; 0-2; 0-3) = (1; -2; -3).

АС = (3-1; 2-2; 5-3) = (2; 0; 2).

Векторное произведение равно:

i        j      k|      i      j

1      -2    -3|     1      -2

2     0      2|     2      0 = -4i - 6j + 0k - 2j - 0i + 4k = 4i - 8j + 4k = (4; -8; 4).

S = (1/2)*√(16 + 64 + 16) = (1/2)*√96 = 2√6 ≈ 4,898979.

2) Находим вектор АД = (3; -2; -3).

Смешанное произведение (АВ*АС)хАД равно:

4        -8      4

3         -2    -3 = 12 + 16 - 12 = 16.

V = (1/6)*16 = 8/3.