Через центр O правильного треугольника ABC со стороной 9 см проведен перпендикуляр OM к его плоскости длиной 3 см. Найти ∠MAO.

Через вершину C прямого угла AСВ проведено прямую CD, перпендикулярную его плоскости, AD=13, BD=11, CD=9. Найдите медиану CM треугольника ABC.

Радиус r окружности, вписанной в основание пирамиды, равен половине стороны квадрата.

O1M = r = 22/2 = 11.

Центр сферы находится на прямой, проходящей через высоту пирамиды (это для правильной пирамиды).

Составит систему уравнений из треугольников, включающих R к стороне основания, и к боковому ребру.

Это соответственно треугольники OKS и OMS.

Обозначим отрезок О1О = х.

Для пирамиды с равными рёбрами угол наклона бокового ребра к основанию равен 45 градусов. Отсюда вывод: треугольник OKS – прямоугольный равнобедренный.  

KS = kO = R = (ОО1 + Н)/√2 = (х + Н)/√2.    

Высота Н =  L*sin 45° = 22*(√2/2) = 11√2.    

Тогда R =  (х + 11√2)/√2.                                                                      (1)                                                          

Из прямоугольного треугольника МОО1 получаем R² = 11² + x².      (2)

Возведём уравнение (1) в квадрат.

{R² = ((ОО1 + Н)/ √2)² = ((х + 11√2)/ √2)² = (х² + 22√2*х + 242)/2.     (3)  

Приравняем правые части уравнений (2) и (3).

(х² + 22√2*х + 242)/2 = 121 + х²,

х² + 22√2*х + 242 = 242 + 2х2.

Приведя подобные, получаем х² - 22√2*х = 0   или х(х - 22√2) =  0.

Имеем 2 корня: х = 0 и х = 22√2.

Второе значение даёт точку касания боковых рёбер на длине, равной радиусу R = 33 от вершины, то есть за пределами пирамиды. Это решение отбрасываем.

ответ: R₁ =  (0 + 11√2)/√2 = 11.

  

При этом можно рассмотреть доказательства, в которых квадрат, построенный на гипотенузе данного прямоугольного треугольника «складывается» из таких же фигур, что и квадраты, построенные на катетах. Можно рассматривать и такие доказательства, в которых применяется перестановка слагаемых фигур и учитывается ряд новых идей.

На рис. 2 изображено два равных квадрата. Длина сторон каждого квадрата равна a + b. Каждый из квадратов разбит на части, состоящие из квадратов и прямоугольных треугольников. Ясно, что если от площади квадрата отнять учетверенную площадь прямоугольного треугольника с катетами a, b, то останутся равные площади, т. е. c2 = a2 + b2. Впрочем, древние индусы, которым принадлежит это рассуждение, обычно не записывали его, а



сопровождали чертеж лишь одним словом: «смотри!» Вполне возможно, что такое же доказательство предложил и Пифагор.