Введём трёхмерную систему координат с началом в точке В таким образом, что ось Х совпадает с ребром ВА, ось Y -- с ребром ВС, ось Z -- с ребром ВВ₁.
Длину ребра куба положим равной 12 (12 делится нацело и на 3, и на 4), чтобы не только вершины куба, но и точки M и N имели целочисленные координаты.
Определим координаты точек M, N, A и С₁:
M (12; 0; 8), N (0; 9; 0), A (12; 0; 0), С₁ (0; 12; 12).
Определим координаты векторов MN и AС₁:
MN (-12; 9; -8), AС₁ (-12; 12; 12).
cos φ = MN·AС₁ / |MN|·|AС₁| = -12·(-12)+9·12-8·12 / √((-12)²+9²+(-8)²)·√((-12)²+12²+12²) = 12·13 / 17·12√3 = 13/17√3 = 13√3/51
Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, ∠AMO=∠ANO=90. В четырехугольнике AMON сумма противоположных углов равна 180, следовательно сумма другой пары противоположных углов так же равна 180, ∠MAN+∠MON=180 <=> ∠MAN=180-100=80. Касательные из одной точки составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности, AO - биссектриса ∠MAN, ∠MAO=80/2=40.
ИЛИ
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны, AM=AN. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, ∠AMO=∠ANO=90. OM=ON, радиусы. △AMO=△ANO по двум катетам, ∠MOA=∠NOA=∠MON/2=50. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90, ∠MAO=90-∠MOA=40.
