Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 12 см, а сторона основания равна 24 см. Вычисли двугранный угол при основании.
——————————————————
Основание правильной четырехугольной пирамиды – квадрат.
Все боковые грани правильной пирамиды образуют с плоскостью основания равные углы, а высота проходит через центр основания, который является центром вписанной и описанной около основания окружностей.
Двугранный угол здесь образован радиусом вписанной окружности и апофемой, как отрезками. перпендикулярными ребру основания в одной точке (по т. о трех перпендикулярах).
Радиус вписанной в квадрат окружности равен половине его стороны.
r=24:2=12 (см)
Соединив основание апофемы с центром основания ( основанием высоты пирамиды), получим прямоугольный треугольник.
При этом катеты- высота пирамиды и половина стороны основания - равны 12 см.
Следовательно, треугольник - равнобедренный. Острые углы равнобедренного прямоугольного треугольника равны 45º.⇒ Искомый угол равен 45º.
1) v = sосновние * h
площадь основания вычислим по формуле герона:
в данном случае:
р = (3 + 5 + 7) / 2 = 7,5 см.
тогда sоснования:
√(7,5 * 4,5 * 2,5 * 0,5) = √675 / 4 см(квадрат).
высота призмы:
h = 8 * sin 60° = 4 * √3 см.
тогда объем призмы:
v = √675 / 4 * 4 * √3 = √2025 = 45 см(куб)
2)строим пирамиду abcdm.
м- вершина пирамиды.
объем равен одной третей площади основания на высоту.
с треугольника мос по теореме пифагора:
ом= корень квадратынй из(мс*квадрат) -ос(
о- точка пересечения диагоналей,
ос= 0.5ас=2 см, ом= корень квадратный из(4(квадрат)-2(квадрат))=верень квадратный из(16-2)=корень квадратный из 12=2корень квадратный из 3
площадь основания равна квадрату его стороны.
ав=вс=х.
с треугольника авс по теореме пифагора:
ав(квадрат)+вс(квадрат)=ас(квадрат), х*+х*=16, 2х*=16, х*=8 - это площадь основания пирамиды
v=1/3 .8 . 2корень квадратный из 3 =16корень квадратный из 3/3=16/корень квадратный из 3 сантиметров кубических
(*-это степень 2)
