у равнобедренного треугольника ABC .AC- основа, АВ=9смЧерез бічні сторони паралельно основі проведено пряму ,яка перетинає основи AB и AC в точках M и N видповидно MN = 4 см Найдите BN-?​

Четырехугольник может быть описанным,  если суммы противоположных  сторон  равны.  Значит сумма боковых сторон трапеции равна 9-4=13.  В  равнобедренной трапеции боковые стороны равны.  Значит боковая сторона  равна  6,5.  Высоты,  проведенные из тупых  углов  трапеции,  делят  большее основание  на отрезки  2,5,  4,  2,5.
Применим теорему  Пифагора  к треугольнику,  образованному боковой стороной трапеции,  её высотой и  отрезком  большего основания  трапеции..  Высота  является катетом  этого  треугольника
Н==6
Sтрапеции==39

Сделаем рисунок по условию
окружность вписана в треугольник
Все стороны треугольника касаются окружности
на основании  Свойства касательной:
Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
пусть DB=BE = x
тогда
ЕС = FC = a - x
AD = AF = c - x
AC = AF +FC = a - x + c - x = a+c -2x     (1)
Но  также 
АС =b                                                    (2)
тогда
b = a+c -2x 
2x = a+c -b
x = (a+c-b) /2
BD=BE=                               = (    a+c-b) /2
AD=AF= c - x = c - (a+c-b) /2 = ( - a+b+c) /2 
EC=FC= a - x = a - (a+c-b) /2 = (   a+b-c) /2