Вариант 1, при АВ>BC. а) В ∆ АВС отрезок EF - средняя линия, так как соединяет середины сторон АВ и АС. ЕF параллельна ВС. Отрезок MD - секущая. Накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых секущей равны. ∠MDF=∠DMC. По свойству касательных из одной точки СМ=CN и ∆ МСN - равнобедренный и углы при его основании MN равны (свойство): ∠NMC=∠MNC. ∠MNC=∠FND (вертикальные). Отсюда ∠MDF=∠FND. Треугольник DFN- равнобедренный с основанием DN, FN=FD. Что и требовалось доказать.
б) В любом треугольнике расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности со стороной треугольника, выходящей из данной вершины, есть разность полупериметра треугольника и стороны, противолежащей данной вершине: То есть CN = (AC + BC+AB)/2 - AB = (AC+BC-AB)/2. FN=FC-CN = AC/2 - (AC+BC-AB)/2 = AB/2-BC/2. Но FN = FD (доказано выше) и ED=EF+FD=EF+FN = BC/2+AB/2-BC/2=AB/2=BE. Треугольник BED равнобедренный. (ВЕ=ED). Проведем DK параллельно АВ. Тогда четырехугольник DEBK - ромб и его площадь равна S=BE²*Sin (ABC) = 100*√3/2 =50√3. Треугольник ВЕD - половина ромба ВЕDK и его площадь равна Sbed=25√3.
Для второго варианта, при АВ<ВС: а). EF параллельна ВС, MN - секущая. <NDF=<NMC (соответственные углы). СМ=CN (касательные из одной точки) => треугольник MNC равнобедренный и <NMC=<MNC (углы при основании). Отсюда <MNC=<NDF и треугольник DFN - равнобедренный с основанием ND. FN=FD. Что и требовалось доказать.
б). CN = (AC+BC+AB)/2 - AB = (AC+BC-AB)/2. FN=CN-CF = (AC+BC-AB)/2 - AC/2 - = BC/2-АВ/2. Но FN = FD (доказано выше) и ED=EF-FD=EF-FN = BC/2-BC/2+АВ/2=AB/2=BE. То есть треугольник BED равнобедренный. (ВЕ=ED). Проведем DK параллельно АВ. Тогда четырехугольник DEBK - ромб и его площадь равна S=BE²*Sin (ABC) = 100*√3/2 =50√3. Треугольник ВЕD - половина ромба ВЕDK и его площадь равна Sbed=25√3.
Дана прямоугольная трапеция ABCD с основаниями AD u BC, угол BAD=90°. AB = 2r В трапецию можно вписать окружность только тогда, когда равны суммы противоположных сторон трапеции ⇒ AB + CD = BC + AD Вписанная окружность касается боковой стороны трапеции в точке Е так, что CE = 4 см, DE = 9 cм ⇒ СD = CE + DE = 4 + 9 = 13 (cм) Свойство прямоугольной трапеции, в которую вписана окружность: Если точка касания делит боковую сторону на известные отрезки m и n, то радиус вписанной окружности равен r = √(mn) r = √(4*9) = √36 = 6 (см) ⇒ AB = 2*6 = 12 (см)
AB + CD = BC + AD 12 + 13 = BC + AD BC + AD = 25 BC = 25 - AD
Опустим высоту CF на основание AD. ABCF - прямоугольник ⇒ ⇒ BC = AF ⇒ BC = AD - DF ⇒ 25 - AD = AD - DF AD + AD - DF = 25 2AD - DF = 25
В прямоугольном треугольнике CDF: CD = 13 cм - гипотенуза СF = AB = 12cм - катет DF - катет
2AD - 5 = 25 2AD = 25 + 5 2AD = 30 AD = 30 / 2 AD = 15 (cм) BC = 25 - 15 = 10 (cм)
Свойство прямоугольной трапеции, в которую вписана окружность: Если в прямоугольную трапецию вписана окружность, площадь трапеции равна произведению ее оснований
S = BC * AD S = 10 * 15 = 150 (см²)
.
0,0(0 оценок)
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota
Оформи подписку
![\sqrt[3]{2}](/tpl/images/4216/4017/afd81.png)
