Назовем точки пересечения вписанной в трапецию окружности со сторонами ВС и АД соответственно К и М. Тогда КМ является высотой трапеции и равна 2-м радиусам окружности, т.е. 6см. Площадь трапеции = (ВС+АД)/2*КМ=60. Т.е. ВС+АД=20. По теореме вписанной в 4-угольник окружности: ВС+АД=АВ+СД. Но т.к. АВ=СД, то АВ=СД=20/2=10. В трапеции углы С и Д односторонние, т.е. С+Д=180. Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. Значит угол ОСД=ВСД/2 и СДО=СДА/2. Тогда ОСД+СДО=180/2=90. Рассмотрим треугольник ОСД: угол СОД=180-(ОСД+СДО)=90. Перейдем к описанной возле треугольника ОСД окружности. Т.к. треугольник прямоугольный, то центр окр-ти лежит на середине гипотенузы. Т.е. радиус = СД/2=10/2=5
Пусть коэффициент отношений диагоналей равен x.
Тогда короткая диагональ будет 2х, а длинная 7х.
Половина каждой из них будет х и 3,5х соответственно.
Из прямоугольного треугольника с гипотенузой, равное стороне ромба 53:4=13,25 и катетами х и 3,5х, равными половинами диагоналей, найдем по теореме Пифагора величину х.
x^2+(3,5х)^2=(13,25)^2
13,25x^2=(13,25)^2
x^2=13,25
x=корень из 13,25
2х=2*корень из 13,25
7х=7*корень из 13,25
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
S=7*корень из 13,25*2*корень из 13,25 = 92,75
Высоту ромба найдем по формуле:
S=h*a
S=h*13,25
h=92,75:13,25 = 7
ответ: 7.
