*. У рівнобедреному трикутнику ABC з основою AC проведено медіану BF. Знайдіть периметр трикутника АВС, якщо BF = 10см, а периметр трикутника ABF дорівнює 30см.

От квадрата со стороной a отсечены:

треугольник, равный 1/8 площади квадрата

два симметричных треугольника с катетами a и a*tg15

Искомая площадь равна

S= a^2(1 -1/8 -tg15) =a^2(8√3 -9)/8

R - радиус описанной окружности

Сторона квадрата a =R√2

Сторона треугольника 12 =R√3

a= 12*√2/√3 =4√6

S= 12(8√3 -9) =96√3 -108

Центр окружности - на пересечении диагоналей квадрата. Треугольник имеет с квадратом общую вершину, следовательно серединный перпендикуляр к основанию совпадает с диагональю квадрата.

AO/OH =2/1 (AH - медиана), AO=OC (радиусы) => OC/OH =2/1.

BD⊥AC, EF⊥AC => BD||EF. По теореме Фалеса EF делит стороны BC и CD в том же отношении, что и OC, то есть пополам.

DAE= (DAB-EAF)/2 =(90-60)/2 =15

tg15 =tg(30/2) =(1-cos30)/sin30 =2(1-√3/2) =2-√3

Соединим центр окружности O  с точкой пересечения касательных. Пусть H точка пересечения касательных. Рассмотрим треугольник  AOH : 1) В нём ∠ OAH = 90° так как радиус OA проведён в точку касания A касательной AH, и треугольник AOH - прямоугольный.
2) Так как касательные проведены из одной точки, то отрезок, соединяющий центр окружности и точку пересечения касательных ( в нашем случае этот отрезок OH) является биссектрисой угла AHB . Поэтому  ∠AHO = ∠AHB / 2 = 85° /  2 = 42.5°.  
3) Сумма двух острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°. То есть  ∠AOH +  ∠AHO = 90°. ∠AOH = 90° -  ∠AHO = 90° - 42.5° = 47.5°

Треугольники AOH и BOH равны ( OH общая сторона.  ∠AHB = ∠OHB . AH = BH - как отрезки касательных проведённых из одной точки) 
Поэтому ∠AOH = ∠BOH = 47.5°
Тогда ∠ AOB = ∠AOH + ∠BOH = 95°
Треугольник AOB равнобедренный так как OA = OB - как радиусы.Поэтому ∠ ABO = ∠ OAB = (180° - ∠ AOB) / 2.
∠ ABO = (180° - 95°) / 2 = 85° / 2 = 42.5°
ответ:∠ ABO = 42.5°