Произвольный треугольник имеет два равных угла. Третий угол в этом треугольнике равен 65°. Из равных углов проведены биссектрисы. Найди больший угол, который образовывается при пересечении этих биссектрис.

1) если в четырехугольник можно вписать окружность, то сумма его противолежащих углов = 180 град. ∠Р и ∠Н являются противолежащими. получим, что ∠Н= 180- ∠Р= 180-120=60град.

2) проведем высоту КА. рассмотрим ΔКАН:

а) треуг прямоуг, тк ∠А= 90 град( высота)

б) по тригонометрическим формулам в прямоуг. треуг. катет= гипотенуза* cos прилежащего угла. АН= 6*cos 60= 6*1\2=3см

в) по тригонометрическим формулам КА= 6*sin противолежащего угла= 6*sin 60=6*√3\2= 3√3см

3) рассмотрим ΔМКА

а) треуг прямоуг (высота)

б) по теореме катет, лежащий  против угла в 30 град, равен половине гипотенузы. получим, что МК= 3√3*2=6√3см

4) залезем в ΔМКН .мы можем сказать, что этот треуг вписан в окружность. если мы применим теорему синусов в этом треуг, по найдем радиус. итак, теорема синусов: 2R=а\sinА, где а- сторона треуг, а ∠а- противолежащий угол для этой стороны. 2R=МК\sin 60=6√3: √3\2=6√3*2\√3=12. 2R=12. тогда R= 12\2=6см

ответ:6

1)Вектор АВ: (1-3=-2; 3-5=-2) =  (-2;-2).
Вектор ВС: (4-1=3; 4-3=1)   =   (3; 1).
cos(<AB-BC) = |(-2*3-2*1)|/(√(2²+2²)*√(3²+1²) = 8/(√8*√10) = 8/(4√5) =
=2/√5.

Вектор ВС: (4-1=3; 4-3=1) = (3; 1).
Вектор СА: (4-3=1;4-5=-1) = (1;-1).
cos(<ВС-СА) = |(3*1-1*1)|/(√(3²+1²)*√(1²+1²) = 2/(√10*√2) = 2/(2√5) =
=1/√5.

Вектор АВ: (1-3=-2; 3-5=-2) = (-2;-2).
Вектор АС = -СА                 = (-1;1).
cos(<АВ-АС) = |(2*1-2*1)|/(√(2²+2²)*√(1²+1²) = 0/(√8*√2)  = 0.
Если косинус равен нулю, то угол равен 90 градусов.
Треугольник прямоугольный.

2) Для определения координат центра описанной около треугольника окружности надо решить систему из уравнений двух срединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Но для данной задачи это решается просто - центр находится на середине гипотенузы ВС.
Точка О((1+4)/2=2,5;(3+4)/2=3,5) = (2,5; 3,5).