Основания - правильные треугольники. О₁ - центр верхнего основания (точка пересечения медиан (биссектрис, высот)), О - центр нижнего основания.
Пусть Н - середина В₁С₁, тогда О₁Н - радиус окружности, вписанной в треугольник А₁В₁С₁.
О₁Н = а√3/6 = 6√3/6 = √3 см
Пусть К - середина ВС, тогда ОК - радиус окружности, вписанной в треугольник АВС:
ОК = 12√3/6 = 2√3 см.
ОО₁ - высота пирамиды, тогда
ОО₁⊥ВС и АК⊥ВС, т.е. ребро ВС перпендикулярно двум пересекающимся прямым плоскости АКН, значит
ВС⊥(АКН)
Тогда ВС⊥КН, ∠НКА = 30° и НК - апофема пирамиды.
Sбок = (P₁ + P₂) · HK, где P₁ и P₂ - периметры оснований.
Осталось найти НК.
ОО₁НК - прямоугольная трапеция. Проведем в ней высоту НТ.
ОО₁НТ - прямоугольник, ОТ = О₁Н = √3 см
ТК = ОК - ОТ = 2√3 - √3 = √3 см
ΔНТК: cos 30° = TK / HK
HK = TK / cos 30° = √3 / (√3/2) = 2 см
Sбок = (P₁ + P₂) · HK = (6 ·3 + 12 · 3) · 2 = (18 + 36) · 2 = 54 · 2 = 108 см²
∠х = 60°
Объяснение:
Обозначим вершины треугольника. Вершину при ∠х - буквой А,
верхнюю вершину как В , вершину при ∠25° - С, точку пересечения медианы с АС как О.
1) Рассмотрим ΔОВС.
ОВ = ОС по построению, следовательно, ΔОВС - равнобедренный и
∠С = ∠ОВС - 25°. Тогда
∠ВОС = 180° - 2*25° = 130°
2) ∠АОВ и ∠ВОС - смежные, их сумма = 180°, значит,
∠АОВ = 180° - 130° = 60°
3) ΔВОА - равнобедренный, т.к. ВО =АО по построению. Тогда
∠х = ∠АВО = (180° - 60°)/2 = 60°
Все три угла в ΔВОА равны (х = ∠АВО =∠АОВ =60°), значит, этот треугольник равносторонний.
