В треугольнике АВС угол С — прямой, АС =12, СВ =18. АК и СМ — медианы. На какие отрезки делится медиана АК точкой пересечения медиан?

ответ: 676π.

Объяснение:

Сечение шара - круг. Площадь круга: S = πr².

S₁ = πr₁² = 25π    ⇒     r₁ = 5

S₂ = πr₂² = 144π    ⇒   r₂ = 12

Отрезок, соединяющий центр шара с центром сечения, перпендикулярен сечению.

Обозначим ОС = х, тогда OS = 17 - х.

Из прямоугольных треугольников ОСА и OSB выразим радиус шара по теореме Пифагора:

R² = (17 - x)² + r₁² = (17 - x)² + 25

R² = x² + r₂² = x² + 144

(17 - x)² + 25 = x² + 144

289 - 34x + x² + 25 = x² + 144

34x = 170

x = 5

R = √(x² + 144) = √(25 + 144) = √169 = 13

Sпов. шара = 4πR² = 4 · π ·  169 = 676π

Пусть E - точка пересечения прямых BC и AD. Если Е не совпадает с D (на чертеже изображен как раз один из таких случаев), то прямоугольные треугольники BED и CED равны по гипотенузе и катету:
BD=CD по условию, а ED - общий катет. Отсюда ∠BDE=∠CDE,
а т.к. точки A,D,E лежат на одной прямой, то и ∠BDA=∠CDA. 
(Заметим, что если Е совпала с D, то равенство углов ∠BDA и ∠CDA следует сразу из условия, т.к. BC⊥AD).
Далее, треугольники BDA и CDA равны по сторонам и углу между ними
(AD - общая, BD=CD по условию, ∠BDA=∠CDA доказали выше), а значит, AB=AC, что и требовалось.