Пусть АВСД - данная трапеция, ВС||АД, ВС=9 см, АД=21 см, ВК=8 см - высота.
Решение
1. Радиус описанного круга равен радиусу круга, описанного около ΔАВД.
2. Рассмотрим ΔАКВ - прямоугольный.
АК=(АД-ВС):2 = 6 см.
АВ²=АК² + ВК² - (по теореме Пифагора)
АВ²=36+64=100
АВ=10 см.
3. Рассмотрим ΔВКД - прямоугольный.
КД=АД-АК=21-6=15 (см)
ВД²=ВК² + КД² - (по теореме Пифагора)
ВД²=64+225=289
ВД=17 см.
4. Рассмотрим ΔАВД.
SΔ = ½ ah
SΔ = ½ · 21 · 8 = 84 (см²)
5. R=abc/4S
R=(21·10·17)/(4·84) = 3570/336 = 10,625 (см)
ответ. 10,625 см.
Проведем дополнительно высоту СК. Так как трапеция рвнобедренная, очевидно, что отрезок DK = (а-х)/2, где х - искомое основание ВС.
Из тр-ка СКD: CD = DK/cosD = (a-x)/(2cosD).
С другой стороны из пр.тр-ка ACD: CD = a*cosD.
Приравняв, получим: cos^2 (D) = (a-x)/2a (1)
Но по условию:
AB^2 + x^2 = (11/16)a^2, а АВ^2 = CD^2 = a^2 *cos^2(D) = a(a-x)/2
Подставив получим уравнение:
a(a-x)/2 + x^2 = (11/16)a^2 (2)
Домножим на 16 и приведем к квадратному уравнению:
16x^2 - 8ax - 3a^2 = 0 D = 64a^2 + 192 = 64(a^2 +3)
x = (8a + 8кор(a^2 +3))/32 (другой корень - отрицателен)
x = (a + кор(a^2 +3))/4
