В равнобедренном треугольнике проведены биссектрисы углов, прилежащих к основанию. Определи длину биссектрисы угла ∡A, если длина биссектрисы угла ∡C равна 19 см. Рассмотрим треугольники ΔDAC и Δ
.

(Все углы и стороны нужно записывать большими латинскими буквами.)

1. Углы, прилежащие к основанию равнобедренного треугольника,
. Так как данный треугольник равнобедренный, то ∡B
= ∡BCA.

2. Так как проведены биссектрисы этих углов, справедливо, что ∡
=∡DAC=∡DCE= ∡
.

3. У рассматриваемых треугольников общая сторона
.
Значит, треугольники равны по второму признаку равенства треугольников.
У равных треугольников равны все соответствующие элементы, в том числе стороны
=
.

Длина искомой биссектрисы
см.

Площадь квадрата (основания) ABCD равна AD^2=a^2

Площадь грани ADM(площадь прямоугольного треугольника ) равна 1\2*AD*DM=1\2*a^2.

Площадь грани СDM(площадь прямоугольного треугольника ) равна 1)1\2*СD*DM=1\2*a^2.

MD перпендикулярно AD, AD перпендикулярно AB, значит MB перпендикулярно AB

По теореме Пифагора : MB=корень(AD^2+MD^2) =корень(а^2+а^2)=а*корень(2)

По теореме Пифагора : MC=корень(CD^2+MD^2) =корень(а^2+а^2)=а*корень(2)

Площадь грани BСM(площадь прямоугольного треугольника ) равна

 1\2*BD*DM=корень(2)\2*a^2.

MD перпендикулярно CD, CD перпендикулярно BC, значит MC перпендикулярно BC

 Площадь грани BDM(площадь прямоугольного треугольника ) равна 1\2*BC*MC=корень(2)\2*a^2.

Площадь поврехности пирамиды MABCD равна = площадь основания ABCD+площадь грани ADM+ +площадь грани СDM+площадь грани ABM+площадь грани BCM= a^2+1\2*a^2+1\2*a^2+

+ корень(2)\2*a^2+ корень(2)\2*a^2=a^2*(2+корень(2)).

ответ: a^2*(2+корень(2))

Медиана треугольника может быть равна или больше высоты но никогда меньше. 
Равной она бывает в равнобедреном или равносторонем треугольнике.
  Перпендикуляр приведеный из какой нибудь точки к прямой меньше всякой наклонной проведенной из той же точки к этой прямой.
В даном случае этой точкой является вершина из которой приведены медиана и высота.
Если медиана проведена но в равнобедреном треугольнике она наклона к стороне к которой проведена. Высота перпендикулярна к основанию а медианна наклона. С высотой она состовляет прямоугольный треугольник и является в нем гепотенузой а гипотенуза всегда больше катета.