Объяснение:
В прямоугольном треугольнике АКС угол К равен 60° (дано). =>
∠САК = 30°, значит АК - биссектриса угла А.
Биссектриса делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон (свойство). Тогда СК/КВ = АС/АВ.
Но АВ = 2·АС (так как катет АС лежит против угла В, равного 30°). =>
СК/КВ = АС/(2АС) = 1/2. =>
СК = КВ/2 = 12/2 = 6 см.
Или так:
∠АКС = 60° (дано) => ∠САК = 30° (по сумме острых углов прямоугольного треугольника САК). => ∠ВАК = 30°. =>
Треугольник АКВ равнобедренный, так как ∠В = 30° (по сумме острых углов прямоугольного треугольника АВС). и ∠ВАК = 30° (доказано выше). =>
АК = ВК = 12 см.
В прямоугольном треугольнике АКС угол КАС = 30°, значит
СК = АК/2 = 12/2 = 6см.
Или так:
Пусть СК = х. => ВС = 12+х.
В прямоугольном треугольнике АВС угол В равен 30° по сумме острых углов.
Tg(∠B) = tg30 = AC/BC = √3/3. =>
AC = √3·(12+х)/3. (1)
В прямоугольном треугольнике АКС угол К равен 60° (дано).
Tg(∠К) = tg60 = AC/CК = √3. =>
AC = х√3. (2).
Приравняем (1) и (2): √3·(12+х)/3 = х√3. => 12+х = 3х. =>
СК = х = 6 см.
Объяснение:
r - радиус вписанной окружности, r = 12 см.
АВ = NP = 2r = 2 x 12 = 24 см.
СН - высота трапеции, СН = АВ = 24 см.
По теореме Пифагора в треугольнике НСD:
CD^2 = CH^2 + HD^2;
25^2 = 24^2 + HD^2;
625 = 576 + HD^2;
HD^2 = 49;
HD = 7 см.
Пусть NC = x см. Тогда по свойству касательных СК = NC = х см.
DK = DC - CK = 25 - x.
PH = NC = x;
DP = DH + PH = 7 + x.
По свойству касательных: DP = DК. Получим уравнение:
7 + х = 25 - х;
х + х = 25 - 7;
2х = 18;
х = 9.
NC = 9 см;
ВС = BN + NC = r + x = 12 + 9 = 21 см;
AD = AP + PD = r + 7 + x = 12 + 7 + 9 = 28 см.
Периметр трапеции:
P = AB + BC + CD + AD = 24 + 21 + 25 + 28 = 98 см.
