Сторона BC трикутника ABC лежить у площині α, а вершина A віддалена від цієї площини на 2 см. Знайдіть кут між площинами ABC і α, якщо AB = 8 см, ∠ABC = 150°

В правильной треугольной пирамиде боковое ребро длиной 8 см наклонено к плоскости основания под углом 30 градусов. Найдите (в см) радиус окружности, вписанной в основание пирамиды.
---------
В правильной треугольной пирамиде боковые ребра равны.
Основание - правильный треугольник.
Центры вписанноой и описанной правильного треугольника окружности совпадают. Основание высоты правильной треугольной пирамиды совпадает с центром вписанной в основание  окружности. 
Центр вписанной в  треугольник окружности лежит на пересечении его биссектрис.
В правильном треугольнике все биссектрисы еще и медианы и высоты. Медианы треугольника пересекаются в отношении 2/1, считая от вершины. 
Следовательно, радиус вписанной окружности равен 1/3 высоты правильного треугольника. или половине радиуса описанной окружности. На рисунке центр окружности О.
Радиус R описанной окружности равен
ВО=МВ*cos (30º)
ВО=(8*√3):2 =4√3
ОН=ВО:2=2√3
r=2√3 cм

А) в равнобедренной трапеции высота из вершины меньшего основания b делит большее основание a на отрезки (a - b)/2 и (a + b)/2; это очень просто увидеть, если провести высоты из обеих вершин. Второй отрезок (больший) как раз и есть проекция диагонали на основание (меньший отрезок - это проекция боковой стороны на основание). Поскольку в трапецию можно вписать окружность, то боковая сторона c равна полусумме оснований. а) доказано.
б) Легко найти с = (27 + 3)/2 = 15; проекция c на a равна (27 - 3)/2 = 12; откуда высота трапеции 9; (получился египетский треугольник).
Кажется, что тут нужно искать значения радиусов (радиус вписанной окружности уже найден, он равен 9/2) и как-то с ними потом разбираться. Но всё куда проще.
Центры обеих окружностей лежат на прямой n, перпендикулярной основаниям и проходящей через их середины. При этом центр вписанной окружности лежит на средней линии.
Если через середину боковой стороны провести перпендикуляр, то он пересечет прямую n в центре описанной окружности. В силу очевидного подобия тут тоже получается египетский треугольник (его катеты - искомое расстояние и половина средней линии трапеции), и нужное расстояние равно (15/2)*12/9 = 10;