Одна сторона прямоугольника равна х, х>0, вторая у, у>0. Площадь прямоугольника S = xy = 2 откуда y = 2/x. Рассмотрим функцию:
P(x)=2х+2у=2х+2*2/х=2х+4/х
Найдем производную этой функции, приравняем к нулю, получим критические точки
2-(4/х²)=0, откуда 4-2х²=0
х²≠0, х=±√2
Поскольку отрицательный корень x = -√2 не подходит по смыслу задачи, то берем критическую точку х=√2, разбиваем ею числовую ось и проверяем, какие знаки принимает производная на интервалах (0;√2);(√2;+∞)
(0)___-(√2)+
Производная функции при переходе через точку x = √2 меняет знак с минуса на плюс, поэтому х=√2 - точка минимума функции.
у=2/√2=√2
А наименьший периметр прямоугольника будет равен 4√2, если обе стороны равны √2, т.е. когда прямоугольник превратится в квадрат.
Свойство острых углов прямоугольного треугольника: сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
Свойство катета, лежащего против угла в 30°: катет, лежащй против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
Против меньшего угла лежит меньшая сторона, а против меньшей стороны лежит меньший угол.
Поэтому:
1. Втрой острый угол равен: 90° - 60° = 30°.
2. Значит, против угла в 30° лежит меньший катет.
Обозначим меньший катет х см, тогда гипотенуза будет равна (2х) см. Т.к. по условию задачи их сумма равна 9 см, то состаим и решим уравнение:
х + 2х = 9,
3х = 9,
х = 9 : 3,
х = 3.
Значит, меньший катет прямоугольного треугольника равен 3 см.
ответ: 1. 30°. 2. 3 см.
