Назовём трапецию АВСД, а точки касания Е и К. Проведём отрезки в точки касания и в точки Е и К. Найдём радиус вписанной окружности: r = (EK/2) / cos 30° = 10 / (√3/2) = 20 / √3 см. Отрезок ЕВ = r*tg 30° =( (20 / √3)*(1/√3) = 20 / 3 см. Сторона ВС = 2*ЕВ = (20/3)*2 = 40/3 = 13(1/3) см. Отрезок АЕ = r/tg 30° =( (20 / √3)/(1/√3) = 20 см. Сторона АД = 2*АЕ = 2*20 = 40 см. Сторона АВ = АЕ+ЕВ = 20+20/3 = 80/3 = 26(2/3) см. Для проверки использовать свойство трапеции, в которую вписана окружность - сумма боковых сторон равна сумме оснований: 40+13(1/3) = 53(1/3) см, 26(2/3)*2 = 53(1/3) см.
Угол между плоскостями α и β - искомый двугранный угол. Прямая а - ребро двугранного угла. Проведем АВ⊥α и АС⊥β. АВ = √2, АС = 1 . В плоскости α проведем ВН⊥а. ВН - проекция наклонной АН на плоскость α, значит АН⊥а по теореме о трех перпендикулярах. Если АС⊥β, то СН - проекция наклонной АН на плоскость β. Так как наклонная перпендикулярна прямой а, то и ее проекция будет перпендикулярна прямой а по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах. Итак, СН⊥а, ВН⊥а, значит ∠СНВ - линейный угол двугранного угла - искомый.
