Для решения нарисуем осевое сечение конуса – равнобедренный треугольник АВС. Радиус АН=6 см. Высота ВН=8 см. НМ - расстояние от центра основания до середины образующей.
∆ АВН прямоугольный.
По т.Пифагора АВ=10 см (можно не высчитывать, обратив внимание на отношение катетов 3:4 - это "египетский" треугольник)
а) синус угла между образующей АВ и высотой ВН - отношение противолежащего катета АН к гипотенузе АВ.
sin∠АВН=6:10=0,6 ⇒ Угол АВН=arctg 0,6 или 36°52'
б) М - середина гипотенузы прямоугольного треугольника. ⇒
НМ - медиана. По свойству медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, её длина равна половине длины гипотенузы.
НМ=АВ:2=10:2=5 см
Вариант решения.
Формула суммы n-первых членов арифметической прогрессии
Sn=[2a1+(n-1)•d]•n:2, где n- число членов арифметической прогрессии, а1 - её первый член. d -разность арифметической прогрессии, S- сумма
Примем d=1. Тогда
24=(2a1+2)•3:2 ⇒
откуда а1=7, а2=8, а3=9
Или немного проще:
Среднее арифметическое сторон этого треугольника 24:3=8.
Если d=1
То а=8-1=7, b=8, c=8+1=9
Получаем стороны треугольника 7, 8, 9 и их сумма равна данному в условии периметру 24. . Красиво.
Но по т.Пифагора с²=а²+b²
81≠49+64 ⇒ треугольник с такими сторонами не прямоугольный.
Если d=2, то а=6, b=8. с=10. Это сочетание сторон можно и не проверять, они составят так называемый "египетский" прямоугольный треугольник с отношением сторон 3:4:5.
Формула радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник
r=(a+b-c):2 ⇒
r=(6+8-10):2=2 см
